Точки экстремумов функции.

Тема: Точки экстремумов функции.

Цели: 1) ввести понятие экстремумов функции, признаки максимума и минимумов функции; учить находить экстремумы функции с помощью производной.

2) развить умение анализировать, абстрагировать, исследовать.

3) формировать положительное отношение к предмету, доброжелательность, коллективизм.

Ход урока.

1. Оргмомент.

Объявление целей урока: Тема сегодняшнего урока – экстремумы функции. Мы знаем, что означает это понятие, как находить экстремумы функции; поработав всем коллективом и в группах, проведем самостоятельную работу.

1. Поверка знаний и умений.

а) задание по карточкам ( индивидуально)

1. Найти промежутки возрастания и убывания функции

2. Схематично изобразить график функции.

3. Найти интервал монотонности функции

4. Найти интервалы монотонности функции

Проверка домашней работы: (проектор)записаны решения № 558*(для сильных), № 589

Устный счёт.(фронтально) ( проецируются формулы на экран)

Найти производные функций:

3. Изучение нового материала (частично-поисковый метод)

1) Точки максимума и минимума.

Ребятам предлагается ответить на вопросы по графику функции;

1. Назовите промежутки возрастания и убывания функции;

2. Укажите точки, в которых убывание сменяется возрастанием ( и наоборот).

Точки х1 и х3 называются точками минимума, точки х2 и х4 – точки максимума.

Определение 1:Окрестностью точки называется некоторый интервал, содержащий эту точку.

Определение 1:Точка х0 называется точкой максимума, если существует такая окрестность точки х0, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(x)≥f(x) ( стр. 145. ученики находят эти определения)

Даются определения:

а)Точки максимума

б)Точки минимума

в) Точки экстремума - обобщающее понятие

Вопросы на закрепление данных понятий.

А)Являются ли точки х0 и х5 точками экстремумов (по тому же чертежу).

Б) Найти точки экстремумов

В) Сколько точек, экстремума у квадратной функции?

Г) Сколько точек минимума у функции

2) Необходимый признак экстремума функции.

Вопрос: Как расположена касательная к графику функции в точках min и max?

Ответ: Параллельно оси абсцисс.

Вопрос: Какой вид имеет уравнение прямой, параллельной оси 0х, чему равен её угловоё коэффициент?

Ответ: у=b, k=0

Вопрос : Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции в точке?

Он равен значению производной в этой точке. Следовательно, производная в точках экстремума равна 0. Справедлива теорема Ферма:

Если х0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то f¹(x)=0

Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: в точке экстремума касательная параллельна оси абсцисс и поэтому её угловой коэффициент f¹(x)=0

.

И так, если х0-т. экстремума, то f¹(x)=0

3)Достаточное условие экстремума функции

Обратное утверждение неверно. Обратимся к примеру на стр146.рис. 62.

Точки, в которой производная равна 0 называются стационарными.

Выведем достаточное условие для того, чтобы точка являлась точкой экстремума.

Работа по чертежу 1:

А) Укажите точки минимума и определите знак производной слева и справа от точки минимума?

Б) как меняется знак производной при прохождении через т. минимума?

Ученики подводятся к выводу: если производная левее стационарной точки отрицательна, а правее – положительна, т. е. при переходе через эту точку производная меняет знак с «-» на «+» , то эта стационарная точка является точкой минимума.

Аналогично для максимума (стр.1460.учебника)

Как найти точки экстремума функции7 По какому алгоритму действовать?

Алгоритм: 1) область определения Д (у).

2)Найти производную функции.

3)Приравнять производную к нулю и найти корни уравнения найти стационарные точки.

4)Определить знак производной на промежутках, определяемых стационарными точками, где нарушается непрерывность функции.

5)Определить точки максимума и минимума функции.

Пример: Найти точки экстремума функции ( идёт работа по алгоритму, ученики ведут запись в тетради)

4)Закрепление изученного материала.

№560(2). Учащийся решает у доски, остальные в тетради.

№561 (1). Ученики решают самостоятельно с последующей проверкой с помощью проектора.

Работа в группах. (разно уровневые задания)

Учащиеся (в группе по 4) получают задания разного уровня сложности в зависимости от подготовки учащихся. Затем оформляют решение на больших листах и объясняют решения.

1 и 2 группы: Найти точки экстремума функции

3 группа: Найти точки экстремума функции

4 группа: На рисунке изображён график функции у= х³+ах+в (при х=2 график касается оси х). Найти а и b.

5) Самостоятельная работа (дифференцированная)

6). Подведение итогов, дача домашнего задания:

параграф 28, №560(1,4), 563(1,2) 564*-для сильных.