Теорема Пифагора

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Петрозаводского городского округа

«Средняя общеобразовательная школа №9 имени И.С.Фрадкова»

Конспект урока геометрии в 8 классе:

«Теорема Пифагора»

Учебник Атанасян Л.С.

Выполнила: Гапонова

Марина Александровна,

учитель математики

(стаж работы 19 лет,

учитель1 категории)

-2015-

Ход урока:

1. Организационный момент. (презентация)

Слайд1

Ребята, вы часто меня спрашиваете: «Зачем нужна математика?». Надеюсь, что после нашего урока, на этот вопрос ответ будет очевиден.

Тема нашего урока «Теорема Пифагора». Сегодня мы изучим одну из самых известных теорем, называемую теоремой Пифагора.

Слайд 2 Приложение1

"Геометрия обладает , двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, второе – деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Первое можно назвать мерой золота, втрое же больше напоминает драгоценный камень"

Иоганн Кеплер

Как вы думаете, почему звучит эта музыка? Вы узнали, какой это инструмент? Конечно, это арфа. И звучит она не случайно. Ответ на этот вопрос вы сможете дать в конце нашего урока.

Учитель читает сонет Шамиссо:

Пребудет вечной истина, как скоро

Ее познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее почуяв след.

Они не в силах свету помешать ,

А могут, лишь закрыв глаза дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

2.Нам необходимо выяснить: Слайды 3-6

• кто такой Пифагор;

• в чём заключается теорема Пифагора;

• доказать теорему;

• показать практическое применение;

• решить задачи, используемые в ЕГЭ и ОГЭ по данной теме.

Цели:

• овладение необходимыми знаниями и умениями по теме урока;

• воспитание серьёзного отношения к геометрии, понимание значимости предмета;

• развитие умения использовать разнообразные источники;

• воспитание познавательного интереса в изучении геометрии;

• развитие логического мышления.

Задачи:

• познакомиться с теоремой Пифагора, её доказательством, историей её создания, биографией Пифагора;

• научиться применять теорему при решении задач;

• расширить круг задач, используемых на уроках геометрии;

• отработать умение делать выводы;

• формировать учебно-познавательные действия;

• развивать умение работать в коллективе, парами и самостоятельно.

3.Порядок работы: Слайды6-7

Ребята, вам было дано задание, подготовить сообщение. Вы распределены на 3 команды пифагорейцев, каждая из которых будет отстаивать своё право называться самой умной и важной. В течение урока вы будете зарабатывать жетоны в виде прямоугольных треугольников, кто наберет больше жетонов, тот и победит. Кроме того, объявляется и личное первенство, на самого умного пифагорейца. Итак, все наши участники будут распределены на историков, теоретиков, практиков. Победители получат грамоты. Для вручения жетонов выбираются помощники.

4.Первое слово предоставляется группе «Историки» Слайды 8-11.(Выступают представители 1 ряда)

Пифагор родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Его отец был резчиком по камню. Ещё в детстве Пифагор проявлял незаурядные способности, и когда подрос, воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор перебрался в г. Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то отправился домой, чтобы там создать свою школу.

Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками.

Изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что теорема Пифагора была известна задолго до Пифагора. Его же заслуга состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Согласно одной из легенд, знаменитую теорему Пифагор добыл как выигрыш: он поспорил с неизвестным математиком о том, кто кого перепьет, и выиграл. Математик отдал свиток с теоремой Пифагору и сказал, что человек, который владеет этим свитком, будет известным не одно тысячелетие…

5.Актуализация знаний. Слайды 12 .Учитель задаёт вопросы:

1)Определите вид треугольника, изображённого на рисунке.

2)Назовите катеты и гипотенузу данного треугольника.

3)Как найти площадь Δ АВС?

4)Как найти площадь квадрата?

Продолжите предложение: Прямоугольный треугольник-это…

Гипотенуза-это…

Катеты - это…

За каждый правильный ответ ученик получает жетон-треугольник.

6. Изучение нового материала. Слайды 14-15

Учитель: выполним практическую работу.

1. Постройте прямоугольный треугольник, катеты которого выражаются целыми числами;

2. Измерьте катеты и гипотенузу, результаты запишите в тетрадь;

3. Возведите все величины в квадрат и запишите:a²; b²; c²;

4. Сложите квадраты катетов а²+b²

Посмотрите внимательно на свои вычисления. Есть ли какая-то закономерность?
Запишите закономерность буквенным выражением а² + b² = c².

(Сначала спросить учеников, кто увидел закономерность)

Мы с вами увидели, что в прямоугольном треугольнике выполняется такое равенство, а сейчас это докажем. Данное утверждение носит название «Теорема Пифагора». 

(Выступают представители 2 ряда, которые уже разобрали теорему)

Формулируется теорема так:

«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Учащиеся с помощью учителя по чертежу доказывают теорему, затем записывают доказательство в тетради.

Доказательство: Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b.

- площадь квадрата

- теорема доказана.

С помощью теоремы Пифагора можно решать два вида задач:

1. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны катеты.

2. Найти катет, если известна гипотенуза и другой катет.

.

Очень известно выражение: «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Произошло оно от того, что одно из доказательств теоремы очень похоже своим чертежом на штаны. Слайд16.

Звучит оно так: « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах». Наглядно можно убедиться в этом с помощью видео.Приложение2

Когда-то, очень давно при строительстве зданий, люди получали прямой угол с помощью веревки, разделенной на 12 равных частей. Перед вами лежат ленты, разделённые штрихами на 12 равных частей. Подумайте, как можно использовать их для построения прямого угла.

Теорема, обратная к теореме Пифагора. Слайды 17-18

Существует и теорема, обратная к теореме Пифагора, она позволяет проверить, является ли треугольник прямоугольным. Тройки чисел, удовлетворяющие уравнению, называют Пифагоровыми тройками.

Другие способы доказательства теоремы. Слайды 19-21

Учитель: Как вы думаете, сколько способов доказательства этой теоремы существует? В одной из книг представлено около 370 способов. Наиболее известные из них - это доказательства с помощью площади, которое мы уже рассмотрели, но есть ещё алгебраическое с помощью определения СоsА, геометрические, с помощью площади трапеции и другие.

(Если класс слабый, то достаточно просто сказать о существовании этих способов, а если сильный, то целесообразно разобрать другие доказательства, а также дать задание для самостоятельного поиска и разбора теоремы)

Применение теоремы Пифагора. Слайды 22-24 .(Выступают представители 3 ряда)

Наиболее широкое применение теорема Пифагора нашла в архитектуре, строительстве, мобильной связи, астрономии.

Задача1.Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Решение: Пусть AB= x, BC=R=200 км,

OC= r =6380 км.

OB=OA+AB

OB=r + x.

Используя теорему Пифагора, получим Ответ: 2,3 км.

Интересные факты о Пифагоре (Выступают ученики, учитель дополняет)Слайды 25-26

• Пифагор – это на самом деле прозвище, а не имя (Пифагор - "убеждающий речью").

• Увлекался спортом, побеждал в кулачном бою на Олимпийских играх.

• Придумал специальную кружку, которая заставляла пить только в ограниченных количествах. Сегодня она продается на Родосе, Самосе и Крите как сувенир.

• Пифагор считал, что нельзя употреблять пищу животного происхождения. Он верил, что в животных переселяются души людей.

Важные открытия, связанные с именем Пифагора.

• В географии и астрономии – представление о том, что Земля – шар и что существуют другие, похожие на неё миры;

• В музыке – зависимость между длиной струны арфы и звуком, который она издаёт;

• В геометрии – построение правильных многоугольников (один из них пятиконечная звезда – стал символом пифагорейцев).

Теперь вы можете ответить на вопрос, почему в начале урока звучала арфа?...

7.Закрепление знаний. Давайте прослушаем стихотворение, которое помогает запомнить формулировку теоремы Пифагора.Слайд27-28

Если дан нам треугольник,
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим
Сумму степеней находим,
И таким простым путем
К результату мы придем. (И. Дырченко)

8.Итоговый контроль. Слайд 29

В рабочих тетрадях учащиеся выполняют работу, в которой предложены разноуровневые задачи, затем ребята обмениваются бланками и делают взаимопроверку. Приложение3.(Каждый выбирает задачу и решает сам).

Здесь представлены и задачи из открытого банка заданий к экзамену. Они взяты с сайта fipi. Приложение4.

Задачи предлагается решить парами, по выбору. За каждую выполненную правильно можно получить жетоны.

9.Рефлексия. Слайд 30 .Приложение5.

• Что понравилось на уроке?

• Что было трудно?

• Что хотели бы повторить?

• Какой вопрос хотели бы обсудить ещё?

• Дайте формулировку теоремы Пифагора.

• В каких задачах она применяется?

• Зачем нужна эта теорема?

• Определите ваше настроение до урока, во время урока, после урока. Для этого дорисуйте мимику снеговику, который лежит у вас на парте. Приложение2

Подведение итогов. Чья команда заняла 1. 2, 3 место.

Кто победил в личном первенстве. Они получают грамоты и «5»

Выставление оценок, похвала ребятам, которые старались на уроке.

• Кто бы поставил себе за урок «5»?

• Кто поставил бы себе «4»?

• Кто бы поставил «3»? Выставление и комментарий к оценкам.

10. Домашнее задание: Слайд31

1)Теория по учебнику всем;
2)по выбору:

найти другой способ доказательства теоремы Пифагора;

найти пифагоровы тройки;

придумать свою задачу на применение теоремы Пифагора;

найти задачи из открытого банка задач по геометрии с сайта fipi.

Спасибо за урок!Слайд32

«Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом».

• Пифагор.

11.Литература. слайд33. Ресурсы интернет. слайд34

1. Л.С. Атанасян учебник «Геометрия 7-9» Москва «Просвещение» 2013 г.

2. Е.М. Рабинович «Задачи и упражнения на готовых чертежах».

3. Волошинов А.В. «Математика и искусство». - М.: «Просвещение» 2000. 

4. Волошинов А.В. «Пифагор». - М.: «Просвещение» 2001. 

5. Литцман В. «Теорема Пифагора». - М.: «Государственное издательство физико-математической литературы» 2000. 

6. Глейзер И. «История математики в школе». 

7. Чистяков В.Д. «Старинные задачи по элементарной математике»