![Урок-презентация по теме «Линейная функция и её график» (7 класс) Николаева Евгения Николаевна, Учитель математики, г. Шахты](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_0.jpg)
Урок-презентация по теме «Линейная функция и её график» (7 класс)
Николаева Евгения Николаевна,
Учитель математики,
г. Шахты
![Повтори!!!](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_1.jpg)
Повтори!!!
- Вопрос №1. Что называют координатной плоскостью ? Ответ.
- Вопрос №2. Что называют функциональной зависимостью ? Ответ.
- Вопрос №3. Какими способами может быть задана функция? Ответ.
- Вопрос №4. Что называют графиком функции ? Ответ.
- Вопрос №5. Что нужно сделать, чтобы построить график функции y = kx ? Ответ.
- Вопрос №6. Что называют прямой пропорциональной зависимостью ? Коэффициентом пропорциональности ? Ответ.
![Координатная плоскость - плоскость на которой выбрана система координат.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_2.jpg)
Координатная плоскость -
плоскость на которой выбрана система координат.
![Функциональная зависимость - зависимость одной переменной от другой](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_3.jpg)
Функциональная зависимость -
зависимость
одной переменной
от другой
![Способы задания: функция может быть задана: формулой, таблицей, графиком.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_4.jpg)
Способы задания:
функция может быть задана:
формулой,
таблицей,
графиком.
![График функции - - множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной, а ординаты – соответствующим значениям функции.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_5.jpg)
График функции -
- множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной, а ординаты – соответствующим значениям функции.
![Ответ №5 Для того чтобы построить график функции y = kx , достаточно построить две точки графика, а затем с помощью линейки провести через эти точки прямую.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_6.jpg)
Ответ №5
Для того чтобы построить график функции y = kx , достаточно построить две точки графика, а затем с помощью линейки провести через эти точки прямую.
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_7.jpg)
Прямая пропорциональность.
Если значения x , y положительны и k 0 , то зависимость между переменными x и y , выражаемую формулой y = kx , обычно называют прямой пропорциональной зависимостью, а число k - коэффициентом пропорциональности.
![Это интересно!!! Функция - одно из основных математических понятий. Оно сложилось не сразу. Идея функциональной зависимости началась еще в древности. В 17 веке большой вклад к появлению понятия функции внесли французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт . Они разработали единую буквенную математическую символику. Введено было единое обозначение: неизвестных – последними буквами латинского алфавита - x , y , z ,известных – начальными буквами того же алфавита - a , b , c , ... и т. д. В 1637 году в своей “ Геометрии ” Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_8.jpg)
Это интересно!!!
Функция - одно из основных математических понятий.
Оно сложилось не сразу. Идея функциональной зависимости началась еще в древности.
В 17 веке большой вклад к появлению понятия функции внесли французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт .
Они разработали единую буквенную математическую символику. Введено было единое обозначение: неизвестных – последними буквами латинского алфавита - x , y , z ,известных – начальными буквами того же алфавита - a , b , c , ... и т. д.
В 1637 году в своей “ Геометрии ” Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы.
![Франсуа Виет (1540-1603) Французский математик. Разработал почти всю элементарную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_9.jpg)
Франсуа Виет (1540-1603)
Французский математик. Разработал почти всю элементарную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения.
![Рене Декарт (1596-1650) Французский философ, математик, физик и физиолог. Заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввел многие алгебраические обозначения.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_10.jpg)
Рене Декарт (1596-1650)
Французский философ, математик, физик и физиолог. Заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввел многие алгебраические обозначения.
![В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени. В 1694 г. слово «функция» ввел впервые Лейбниц (от латинского functio - исполнение, совершение). Под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону. В 1718 г. известный швейцарский математик Иоганн Бернулли писал: «Функцией переменной величины называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной и постоянных». Аналогичное определение дал Леонард Эйлер : «Функция переменной величины есть аналитическое выражение, Составленное каким-нибудь способом из этой переменной величины и из чисел, либо из постоянных величин».](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_11.jpg)
В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени.
В 1694 г. слово «функция» ввел впервые Лейбниц (от латинского functio - исполнение, совершение). Под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону.
В 1718 г. известный швейцарский математик Иоганн Бернулли писал: «Функцией переменной величины называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной и постоянных».
Аналогичное определение дал Леонард Эйлер : «Функция переменной величины есть аналитическое выражение, Составленное каким-нибудь способом из этой переменной величины и из чисел, либо из постоянных величин».
![Исаак Ньютон (1643-1727) Английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики. Фундаментальные труды «Математические начала натуральной философии» (1687) и «Оптика» (1704).](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_12.jpg)
Исаак Ньютон (1643-1727)
Английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики. Фундаментальные труды «Математические начала натуральной философии» (1687) и «Оптика» (1704).
![Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) Немецкий философ, математик, физик, языковед. Он создал основы важного раздела математики – математического анализа. Лейбниц ввел многие понятия и символы, употребляемые в математике и сейчас.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_13.jpg)
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716)
Немецкий философ, математик, физик, языковед. Он создал основы важного раздела математики – математического анализа. Лейбниц ввел многие понятия и символы, употребляемые в математике и сейчас.
![Леонард Эйлер (1707-1783) Российский ученый - математик, механик, физик и астроном. Ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор работ по математическому анализу, теории чисел, небесной механике, математической физике, оптике, кораблестроению, теории музыки и других, оказавших значительное влияние на развитие науки.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_14.jpg)
Леонард Эйлер (1707-1783)
Российский ученый - математик, механик, физик и астроном. Ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор работ по математическому анализу, теории чисел, небесной механике, математической физике, оптике, кораблестроению, теории музыки и других, оказавших значительное влияние на развитие науки.
![Изучаем новую тему: «Линейная функция» Рассмотрим примеры: Пример 1. На стоянке такси висит табличка: Обозначим стоимость поездки (в р.) через c , а расстояние (в км) через s . Зависимость стоимости c от расстояния s выражается формулой c=3s+5 Пример 2. В полном баке легкового автомобиля 30 л бензина. На каждый километр пути в среднем расходуется 0,1 л. Количество литров бензина r , которое останется в баке после s км пути, выражается формулой r=30-0,1s](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_15.jpg)
Изучаем новую тему: «Линейная функция»
Рассмотрим примеры:
Пример 1. На стоянке такси висит табличка:
Обозначим стоимость поездки (в р.) через c , а расстояние (в км) через s . Зависимость стоимости c от расстояния s выражается формулой c=3s+5
Пример 2. В полном баке легкового автомобиля 30 л бензина. На каждый километр пути в среднем расходуется 0,1 л. Количество литров бензина r , которое останется в баке после s км пути, выражается формулой r=30-0,1s
![Формулы, которые мы получили, по существу различаются только буквами и числовыми коэффициентами. А по структуре они одинаковы. Таким образом, величины совсем разной природы фактически связаны между собой одной и той же зависимостью. Эти, а также многие другие процессы описываются линейной функцией , которая является их общей математической моделью.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_16.jpg)
Формулы, которые мы получили, по существу различаются только буквами и числовыми коэффициентами. А по структуре они одинаковы. Таким образом, величины совсем разной природы фактически связаны между собой одной и той же зависимостью. Эти, а также многие другие процессы описываются линейной функцией , которая является их общей математической моделью.
![Функция называется линейной , если ее можно задать формулой вида y=kx+b, где k и b - некоторые числа. Проанализируем разбиение функций на группы в зависимости от значений k и b. (приложение 1.) Линейная функция – самая простая модель, описания реальных процессов. Так как геометрический образ линейного уравнения y=kx+b на координатной плоскости – это прямая, то графиком линейной функции является прямая. Немного о функции](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_17.jpg)
Функция называется линейной , если ее можно задать формулой вида y=kx+b, где k и b - некоторые числа.
Проанализируем разбиение функций на группы в зависимости от значений k и b. (приложение 1.)
Линейная функция – самая простая модель, описания реальных процессов. Так как геометрический образ линейного уравнения y=kx+b на координатной плоскости – это прямая, то графиком линейной функции является прямая.
Немного о функции
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_18.jpg)
Приложение 1
Положение графика на координатной плоскости зависит от значений параметров k и b .
у = k x + b
b = 0 ; у = k x
k = 0 ; у = mb
b 0
b
k = 1 ; y = x
k = -1 ; y = - x
K ≠ ±1 ; y = k x
b = 0
назад
![Стихотворение «Линейная функция». Пересекаются При k 1, не равном k 2, Прямые … всегда, А при этом b 1 равно b 2, Точка пересечения известна нам тогда. Прямая Графиком которой Является, … Строгая, красивая, Бесконечная такая. Совпадут Если k 1 равно k 2, Прямые параллельные тогда. А при этом b 1 равно b 2, То прямые … тогда. Любых. И каков же тут итог, Если наш учитель строг? Любой ответ по «месту жительства» прямых Найдем мы при условиях … Линейная Среди многих функций Есть одна нужнейшая Важная, старейшая. Зовем ее … ?](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_19.jpg)
Стихотворение «Линейная функция».
Пересекаются
При k 1, не равном k 2, Прямые … всегда, А при этом b 1 равно b 2,
Точка пересечения
известна нам тогда.
Прямая
Графиком которой
Является, …
Строгая, красивая, Бесконечная такая.
Совпадут
Если k 1 равно k 2,
Прямые параллельные тогда. А при этом b 1 равно b 2, То прямые … тогда.
Любых.
И каков же тут итог, Если наш учитель строг? Любой ответ по «месту жительства» прямых Найдем мы при условиях …
Линейная
Среди многих функций
Есть одна нужнейшая Важная, старейшая. Зовем ее … ?
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_20.jpg)
Решаем задачи.
Задача 1.
Построить график функции у=kх, k 0.
При b = 0 линейная функция у = k х + b имеет вид у = k х.
Её график – прямая, проходящая через начало координат. Для построения этой прямой, достаточно задать какую-нибудь одну её точку, отличную от начала координат.
Если k = 1, то функция имеет вид у = х, её график – прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных углов (приложение 2).
Если k = - 1, то функция имеет вид у = - х, её график – прямая, являющаяся биссектрисой II и IV координатных углов (приложение 3).
Графики функций у = k х при k ± 1 представлены в (приложении 4).
Если k 1, то угол наклона прямых у = k х к оси 0у больше, чем у графика у = х; если 0
у = х.
![k = 1 ; y = x у у = x 1 х 1 0 Прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных углов](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_21.jpg)
k = 1 ; y = x
у
у = x
1
х
1
0
Прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных углов
![Задача 2 Построить график функции у = b. При k = 0 линейная функция у = k х + b имеет вид у = b. Её графиком является прямая, параллельная оси 0х и пересекающая ось 0у в точке с ординатой b (приложение 5). Если не только k = 0, но и b = 0, то функция у = kх имеет вид у = 0. В этом случае её график совпадает с осью Ох (приложение 6).](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_22.jpg)
Задача 2
Построить график функции у = b.
При k = 0 линейная функция у = k х + b имеет вид у = b. Её графиком является прямая, параллельная оси 0х и пересекающая ось 0у в точке с ординатой b (приложение 5).
Если не только k = 0, но и b = 0, то функция у = kх имеет вид у = 0. В этом случае её график совпадает с осью Ох (приложение 6).
![k = -1 ; y = - x у 1 х 1 0 у = - x Прямая, являющаяся биссектрисой II и IV координатных углов](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_23.jpg)
k = -1 ; y = - x
у
1
х
1
0
у = - x
Прямая, являющаяся биссектрисой II и IV координатных углов
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_24.jpg)
K ≠ ±1 ; y = k x
k 1
у
у = x
k - 1
у
1
0 1
х
1
0
- 1 0
1
х
1
0
у = - x
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_25.jpg)
k = 0 ; у = b
у
у
у = b; b 0
у
1
1
х
х
1
0
0
1
1
1
х
х
0
1
0
1
Прямая, параллельная оси Ох и
пересекающая ось Оу в точке с ординатой b.
у = b; b
![k = 0 ; у = 0 у 1 1 у = 0 х х 0 1 1 0 График совпадает с осью Ох](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_26.jpg)
k = 0 ; у = 0
у
1
1
у = 0
х
х
0
1
1
0
График совпадает с осью Ох
![Задачи с ответами № 1 Построить график функции y= -3. Ответ № 2 Построить график функции y= 0,5 x . Ответ № 3 Постройте график функции y=-1,5x+3 . Выясните с помощью графика: а) какое значение y соответствует x= 4 ; б) какому значению x соответствует y=- 3 . Ответ № 4 Не выполняя построения графика функции y=1,2x-7 , выясните, проходит ли этот график функции через точку А(100;113)? Ответ](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_27.jpg)
Задачи с ответами
- № 1 Построить график функции y= -3. Ответ
- № 2 Построить график функции y= 0,5 x . Ответ
- № 3 Постройте график функции y=-1,5x+3 . Выясните с помощью графика: а) какое значение y соответствует x= 4 ; б) какому значению x соответствует y=- 3 . Ответ
- № 4 Не выполняя построения графика функции y=1,2x-7 , выясните, проходит ли этот график функции через точку А(100;113)? Ответ
![Ответ № 1 Прямая, параллельная оси Ох и пересекающая ось Оу в точке с ординатой -3.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_28.jpg)
Ответ № 1
Прямая, параллельная оси Ох и пересекающая ось Оу в точке с ординатой -3.
![Ответ № 2](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_29.jpg)
Ответ № 2
![Ответ № 3 y=-1,5x+3 а) при x= 4 y=-3 б ) при y=-3 x=4](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_30.jpg)
Ответ № 3
y=-1,5x+3
а) при x= 4 y=-3
б ) при y=-3 x=4
![Ответ № 4 y=1,2x-7 A (100;113), x=100; Подставляем в функцию y вместо x значение абсциссы точки A : y(x)=x(100)=1,2*100-7=113=y Ответ: график функции y=1,2x-7 проходит через точку A (100;113) .](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_31.jpg)
Ответ № 4
y=1,2x-7 A (100;113), x=100;
Подставляем в функцию y вместо x значение абсциссы точки A : y(x)=x(100)=1,2*100-7=113=y
Ответ: график функции y=1,2x-7 проходит через точку A (100;113) .
![№ 5 Постройте графики функций и определите, в каких точках они пересекаются с осью ординат. 1) y=x+3 , 2)y=2-x , 3)y=-3 , 4)y= 0, 5)y=4 , 6) y=- 1, 7) y=x-2 . Буквы, соответствующие найденным ответам впишите в кружки. Какая фамилия получится? Ответ.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_32.jpg)
№ 5 Постройте графики функций и определите, в каких точках они пересекаются с осью ординат. 1) y=x+3 , 2)y=2-x , 3)y=-3 , 4)y= 0, 5)y=4 , 6) y=- 1, 7) y=x-2 . Буквы, соответствующие найденным ответам впишите в кружки. Какая фамилия получится? Ответ.
![Ответ № 5 Соболев Сергей Львович (1908) Советский математик, основные труды которого относятся к математическому анализу, математической физике. Большой вклад внес в теорию уравнений.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_33.jpg)
Ответ № 5
Соболев Сергей Львович (1908)
Советский математик, основные труды которого относятся к математическому анализу, математической физике. Большой вклад внес в теорию уравнений.
![Задания для работы](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_34.jpg)
Задания для работы
- Параграф 32, правила на с. 138-139, №580,
- 581(2,4), 583,
- 584, 586(2), 594(2),
- 595(2), 587(2,4), 607(2,4), 610.
![Спасибо за урок! Желаем успеха в дальнейшем обучении!](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_35.jpg)
Спасибо за урок!
Желаем успеха в дальнейшем обучении!
![Домашнее задание](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2020/05/20/i_5ec531d4b0706/img_phpXc4bUe_36.jpg)
Домашнее задание
- Параграф 32, правила на с. 138-139, №581(1,3),
- 582, 585,
- 586(1), 594(1), 595(1).