Презентация "Свойства функций в неравенствах"

Свойства различных функций могут быть использованы при решении неравнств, например, представленных в заданиях №15 ЕГЭ по математике профильного уровня.

Содержимое разработки

Свойства функций в неравенствах

Свойства функций в неравенствах

Аннотация

Аннотация

  • Применение свойств функций может оказаться достаточно эффективным при доказательстве и решении неравенств. С нахождением области определения, области значений, промежутков знакопостоянства, промежутков монотонности, точек экстремума, наибольшего или наименьшего значения функции в работе доказываются и решаются неравенства. Важно отметить, что как любой математический метод, так и этот не может быть абсолютно предпочтительным. Также приведены задачи для самостоятельного решения.
Цели и задачи

Цели и задачи

  • Ознакомление учащихся с методом применения свойств функций для доказательств и решения неравенств;
  • Создать условие для владения и развития данного метода учащимися;
  • Создать такую среду, чтобы учащиеся почувствовали силу этого метода, одновременно убедительно зная, что любой математический метод не может быть абсолютно предпочтительным.
g(x). Если D(f) D(g)=0, то неравенство не имеет решений. Пример. Решить неравенство Решение. Пусть Тогда D(f)=(2; 3) U (6; +∞), a D(g)=[4; 5]. Так как D(f) D(g)=0, то данное неравенство не имеет решений." width="640"

U

U

1. Дано неравенство f(x)g(x). Если D(f) D(g)=0, то неравенство не имеет решений.

  • Пример. Решить неравенство
  • Решение. Пусть

Тогда D(f)=(2; 3) U (6; +∞), a D(g)=[4; 5]. Так как D(f) D(g)=0, то данное неравенство не имеет решений.

g(x). Если D(f) D(g)=Х и для любых х Х неравенство верно, то множество Х является ответом." width="640"

U

U

U

2. Дано неравенство f(x)g(x). Если D(f) D(g)=Х и для любых х Х неравенство верно, то множество Х является ответом.

  • Пример. Решить неравенство
  • Решение. Для функции D(f)=[1;+∞), а для функции D(g)=(-∞;4]. X=D(f) D(g)=[1;+∞) (-∞;4]=[1;4]. На Х f(x)≥3 и g(x)≤ следовательно, неравенство верно на [1;4].
g(x). Если D(f) D(g)=Х и на Х неравенство неверно, то оно не имеет решений. Пример. Решить неравенство Решение. Для функции D(f)=[-1;5], a для функции D(g)=[2;6]. X=D(f) D(g)=[-1;5] [2;6]=[2;5]. g наим =5 при х=2, когда , а f наиб =3 при х=-4/(2∙(-1))=2, когда квадратный трехчлен 4х-х 2 +5 принимает наибольшее значение. Значит, данное неравенство не имеет решений." width="640"

U

U

U

3. Дано неравенство f(x)g(x). Если D(f) D(g)=Х и на Х неравенство неверно, то оно не имеет решений.

  • Пример. Решить неравенство
  • Решение. Для функции D(f)=[-1;5], a для функции D(g)=[2;6]. X=D(f) D(g)=[-1;5] [2;6]=[2;5]. g наим =5 при х=2, когда

, а f наиб =3 при х=-4/(2∙(-1))=2, когда квадратный трехчлен 4х-х 2 +5 принимает наибольшее значение. Значит, данное неравенство не имеет решений.

0, тогда f(x)=х+1/х≥2 и g(x)=1+sinx≤2, следовательно, в этом случае решений нет (число х=1 не является решением). Пусть x sinx=-1. Значит, любое отрицательное число является решением данного неравенства. Ответ. x

4. Оценивание.

  • Пример. Решить неравенство х+1/х
  • Решение. ОДЗ х: х≠0. Пусть x0, тогда f(x)=х+1/х≥2 и g(x)=1+sinx≤2, следовательно, в этом случае решений нет (число х=1 не является решением). Пусть x

sinx=-1. Значит, любое отрицательное число является решением данного неравенства.

Ответ. x

-2. Ответ. Решений нет." width="640"

5. Область значений функции

  • Пример. Решить неравенство х 2 +6х+10
  • Решение. f(x)=х 2 +6х+10=х 2 +6х+9+1=(x+3) 2 +1, значит, f наим =f(-3)=1. Областью значений функции g(x)=|2+x|/(2+x) является множество {-1; 1}, причем g(x)=1 при x-2.

Ответ. Решений нет.

0, x4, 8x-x 2 -15≥0; x 2 -8x+15≤0; x (4; 5]. На этом промежутке 0 Ответ. (4; 5]." width="640"

6. Промежутки знакопостоянства функции

  • Пример. Решить неравенство
  • Решение. Пусть а g(x)=x-3. D(f) определяется системой

х-40, x4,

8x-x 2 -15≥0; x 2 -8x+15≤0; x (4; 5]. На этом промежутке 0

Ответ. (4; 5].

7. Наибольшее или наименьшее значение функции Пример. Решить неравенство Решение. ОДЗ х: 2≤х≤4. Данное неравенство представим в виде:  На отрезке [2;4] 1≤log 2 x≤2, следовательно, для функции  Одновременно, наименьшее значение функции  больше 8.  Ответ. [2; 4].

7. Наибольшее или наименьшее значение функции

  • Пример. Решить неравенство
  • Решение. ОДЗ х: 2≤х≤4. Данное неравенство представим в виде:

На отрезке [2;4] 1≤log 2 x≤2, следовательно, для функции

Одновременно, наименьшее значение функции

больше 8.

Ответ. [2; 4].

2 2(x 3 +6x)-49x 2 ." width="640"

8. Точка экстремума функции

  • Пример. Доказать, что при x2

2(x 3 +6x)-49x 2 .

  • Доказательство. Рассмотрим функцию f(x)=2(x 3 +6x)-9x 2 -4. f’(x)=6(x-1)(x-2). x=2 – точка минимума функции, и на промежутке [2; +∞) f(x) возрастает. Т. к. f(2)=0, то f(x)0 при x2.
0, xf(x) при 2 Ответ. (2; 6,5)." width="640"

9. Возрастание или убывание функции

  • Пример. Решить неравенство (13-2х) log 3 2 (13-2x)
  • Решение. ОДЗ х: 13-2x0, xf(x) при 2

Ответ. (2; 6,5).

Задачи для самостоятельного решения

Задачи для самостоятельного решения

  • Решить неравенства:
  • 1+lgsinx
  • lgx- Ответ. (0; 1].
  • lg(lg(4x 2 -4x+11)+ )
  • sin 2 +3 x +3 -x ≤2. Ответ. 0.
  • 3 х ≤13-2х. Ответ. (-∞; 2].
  • log 6 (x+ )≥log 4 x. Ответ. (0; 4].
  • Доказать неравенства:
  • e x ex при x1.
  • x 2 -12lnx при x1.
  • e x ≥1+x.
  • e x 1+x+x 2 /2 при x0.
Сохранить у себя:
Презентация "Свойства функций в неравенствах"

Получите свидетельство о публикации сразу после загрузки работы



Получите бесплатно свидетельство о публикации сразу после добавления разработки