Файлы

Свойства функций в неравенствах

Аннотация

Применение свойств функций может оказаться достаточно эффективным при доказательстве и решении неравенств. С нахождением области определения, области значений, промежутков знакопостоянства, промежутков монотонности, точек экстремума, наибольшего или наименьшего значения функции в работе доказываются и решаются неравенства. Важно отметить, что как любой математический метод, так и этот не может быть абсолютно предпочтительным. Также приведены задачи для самостоятельного решения.

Цели и задачи

Ознакомление учащихся с методом применения свойств функций для доказательств и решения неравенств;
Создать условие для владения и развития данного метода учащимися;
Создать такую среду, чтобы учащиеся почувствовали силу этого метода, одновременно убедительно зная, что любой математический метод не может быть абсолютно предпочтительным.

g(x). Если D(f) D(g)=0, то неравенство не имеет решений. Пример. Решить неравенство Решение. Пусть Тогда D(f)=(2; 3) U (6; +∞), a D(g)=[4; 5]. Так как D(f) D(g)=0, то данное неравенство не имеет решений." width="640"

1. Дано неравенство f(x)g(x). Если D(f) D(g)=0, то неравенство не имеет решений.

Пример. Решить неравенство

Решение. Пусть

Тогда D(f)=(2; 3) U (6; +∞), a D(g)=[4; 5]. Так как D(f) D(g)=0, то данное неравенство не имеет решений.

g(x). Если D(f) D(g)=Х и для любых х Х неравенство верно, то множество Х является ответом." width="640"

2. Дано неравенство f(x)g(x). Если D(f) D(g)=Х и для любых х Х неравенство верно, то множество Х является ответом.

Пример. Решить неравенство

Решение. Для функции D(f)=[1;+∞), а для функции D(g)=(-∞;4]. X=D(f) D(g)=[1;+∞) (-∞;4]=[1;4]. На Х f(x)≥3 и g(x)≤ следовательно, неравенство верно на [1;4].

g(x). Если D(f) D(g)=Х и на Х неравенство неверно, то оно не имеет решений. Пример. Решить неравенство Решение. Для функции D(f)=[-1;5], a для функции D(g)=[2;6]. X=D(f) D(g)=[-1;5] [2;6]=[2;5]. g наим =5 при х=2, когда , а f наиб =3 при х=-4/(2∙(-1))=2, когда квадратный трехчлен 4х-х 2 +5 принимает наибольшее значение. Значит, данное неравенство не имеет решений." width="640"

3. Дано неравенство f(x)g(x). Если D(f) D(g)=Х и на Х неравенство неверно, то оно не имеет решений.

Пример. Решить неравенство

Решение. Для функции D(f)=[-1;5], a для функции D(g)=[2;6]. X=D(f) D(g)=[-1;5] [2;6]=[2;5]. g наим =5 при х=2, когда

, а f наиб =3 при х=-4/(2∙(-1))=2, когда квадратный трехчлен 4х-х 2 +5 принимает наибольшее значение. Значит, данное неравенство не имеет решений.

0, тогда f(x)=х+1/х≥2 и g(x)=1+sinx≤2, следовательно, в этом случае решений нет (число х=1 не является решением). Пусть x sinx=-1. Значит, любое отрицательное число является решением данного неравенства. Ответ. x

4. Оценивание.

Пример. Решить неравенство х+1/х

Решение. ОДЗ х: х≠0. Пусть x0, тогда f(x)=х+1/х≥2 и g(x)=1+sinx≤2, следовательно, в этом случае решений нет (число х=1 не является решением). Пусть x

sinx=-1. Значит, любое отрицательное число является решением данного неравенства.

Ответ. x

-2. Ответ. Решений нет." width="640"

5. Область значений функции

Пример. Решить неравенство х 2 +6х+10

Решение. f(x)=х 2 +6х+10=х 2 +6х+9+1=(x+3) 2 +1, значит, f наим =f(-3)=1. Областью значений функции g(x)=|2+x|/(2+x) является множество {-1; 1}, причем g(x)=1 при x-2.

Ответ. Решений нет.

0, x4, 8x-x 2 -15≥0; x 2 -8x+15≤0; x (4; 5]. На этом промежутке 0 Ответ. (4; 5]." width="640"

6. Промежутки знакопостоянства функции

Пример. Решить неравенство

Решение. Пусть а g(x)=x-3. D(f) определяется системой

х-40, x4,

8x-x 2 -15≥0; x 2 -8x+15≤0; x (4; 5]. На этом промежутке 0

Ответ. (4; 5].

7. Наибольшее или наименьшее значение функции

Пример. Решить неравенство

Решение. ОДЗ х: 2≤х≤4. Данное неравенство представим в виде:

На отрезке [2;4] 1≤log 2 x≤2, следовательно, для функции

Одновременно, наименьшее значение функции

больше 8.

Ответ. [2; 4].

2 2(x 3 +6x)-49x 2 ." width="640"

8. Точка экстремума функции

Пример. Доказать, что при x2

2(x 3 +6x)-49x 2 .

Доказательство. Рассмотрим функцию f(x)=2(x 3 +6x)-9x 2 -4. f’(x)=6(x-1)(x-2). x=2 – точка минимума функции, и на промежутке [2; +∞) f(x) возрастает. Т. к. f(2)=0, то f(x)0 при x2.