Конспект урока по теме "Рациональные и иррациональные уравнения"

Тема урока : Решение рациональных и иррациональных уравнений.

Цель: повторить и обобщить умения учащихся решать рациональные и иррациональные уравнения и проверить эти умения с помощью практической работы.

Задачи:

Образовательные

1. Формирование умения и навыков решения рациональных и иррациональных уравнений.

2. Применение ЗУН упрощения рациональных и иррациональных выражений.

3. Контроль уровня усвоения знаний и умений решения рациональных и иррациональных уравнений, приведения подобных слагаемых, приведения к общему знаменателю, вычислительных навыков.

Развивающие

1. Развитие умений выделять главное, существенное в изученном материале.

2. Формирование умений сравнивать, классифицировать, обобщать факты и понятия.

3. Формировать умение пользоваться алгоритмом.

4. Развитие у учащихся самостоятельности в мышлении и в учебной деятельности.

5. Развитие у учащихся познавательного интереса, внимания, математической зоркости.

Воспитательные

1. Содействовать формированию мировоззренческих понятий.

2. Воспитывать чувство коллективизма, сопереживания за группу, товарища.

ХОД УРОКА

1.Организационный этап

Приветствие. Выявление отсутствующих.

2. Постановка темы и целей урока

Посмотрите на доску (на доске уравнения )

- Что здесь записано?

+ уравнения

- Какие виды уравнений вы умеете решать?

+Линейные, квадратные.

Среди перечисленных уравнений уберите квадратные уравнения.

Рассмотрите оставшиеся уравнения. Что представляет собой левая и правая части уравнений? + выражения

- Какие? + Рациональные

- уравнения, в которых левая и правая часть является рациональным выражением называются рациональными уравнениями.

-Рациональные выражения. Какими бывают они?

+ Целыми и дробными

- Как вы думаете, как будут называться уравнения, где левая и правая части являются целыми выражениями?

- Дробными?

- Чем будем заниматься сегодня?

- Назовите тему сегодняшнего урока и поставьте цели на урок

- Как говорил один ученый «Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»

3. Изучение нового материала

Так как умеем решать целые уравнения, рассмотрим способ его решения.

Решить уравнение. (Один у доски)

- Всегда ли оно имеет смысл? + да, т.к. нет деления на переменную

3(х-1)+4х=5х

3х-3+4х-5х=0 2х-3=0 2х=3 х=1,5

- Как его решали? Составим алгоритм решения. (Около каждого момента – карточка с пунктом алгоритма)

1. Найти ОЗ

2. Умножить обе части уравнения на ОЗ

3. Решить получившееся уравнение

- Как можно решить дробное рациональное уравнение?

+ по тому же плану

Решить уравнение 

- Всегда ли оно имеет смысл?

- Когда не имеет?

+ Когда знаменатель равен нулю.

- Какой знаменатель общий или отдельно для каждой дроби?

+ общий

Решаем уравнение у доски

Когда нашли общий знаменатель, определить, при каких значениях переменной уравнение не имеет смысла

Подробный алгоритм решения рационального уравнения.

1. Разложить знаменатель каждой дроби, входящей в уравнение, на множители. Найти общий знаменатель дробей.

2. Найти значения переменной, при которой дроби, входящие в уравнение имеют смысл

3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель

4. Решить получившееся целое уравнение

5. Исключить из корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Совместная работа учителя, с учащимися.

1) Работа в парах, затем одна пара решает у доски

Ответы: 1) x=4; 2) нет решения; 3) x=4; 4) x=86.

2) Докажите, что уравнения не имеют корней1)  2) 

Если в уравнении переменная содержится под знаком квадратного корня, уравнение называют иррациональным.

Учитель. Такие уравнения встречаются в ЕГЭ, посмотрите у вас на столе лежат ксерокопии тестов и найдите там иррациональное уравнение.

Уметь решать иррациональные уравнения- значит, уметь избавиться от входящих в них радикалов, т.е. сводить их к уравнениям, радикалов не содержащих.

Ведем обе части в квадрат.

4x²-9x+2=x²-4x+4

3x²-5x-2=0

D=25+24=49

x₁=2, x₂=

проверка: x=2- корень уравнения, x=- посторонний корень.

Учитель: Итак, иррациональные решают методом возведения обеих частей в квадрат; решив полученное в итоге рациональное уравнение, надо обязательно сделать проверку, отсеяв возможные посторонние корни.

Решить уравнение: 

Ответ.1

Уравнения вида  и  называют простейшими иррациональными уравнениями.

Решить уравнение по вариантам. С каждого варианта у доски.

1) 

2) 

4. Закрепление изученного материала.

1. Решить уравнения. Самостоятельно

Найти значения переменной х, при которых дробь равна дроби 

Решить уравнение

Проверить на доске по готовому решению. В случае ошибки подробный разбор.

Работа с уравнениями по уровням.  решение у доски.

1)  2)  3)  

5. Практическая работа: а теперь по данной теме выполните практическую работу.

Практическая работа №74 «Решение иррациональных уравнений»

Цель работы: Обобщить и систематизировать знания по теме «иррациональные уравнения». Закрепить умения использовать полученные знания для решения уравнений

Теоретические сведения к практической работе:

Для решения рационального уравнения используем последовательно знания следующих свойств:

• Стандартные приемы: раскрытие скобок.

• Методы решения уравнений: введение новой переменной.

• Правила преобразования уравнений.

• Решение квадратного уравнения.

Уравнение, которые можно свести к дроби  f(x)/g(x)=0, называется дробно рациональным уравнением. Если уравнение имеет несколько слагаемых, то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю

Следующим шагом находим корни числителя. Отвергаем среди них те, которые не принадлежат области допустимых значений (нули знаменателя) и записываем правильный ответ.

        Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень.

        Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие приемы:

1) «уединение» корня в одной из частей уравнения и возведение в соответствующую степень;

2) введение новой переменной;

3) сведение к системе уравнений;

4) применение свойств функций, входящих в уравнение.

       Следует помнить, что при решении иррациональных уравнений необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или нахождение ОДЗ и следующий анализ корней (при решении методом приведения к равносильной смешанной системе уравнений и неравенств необходимость в этом отпадает).

Задания для самостоятельного решения:

Вариант 1.

Решите уравнения

Вариант 2.

Решите уравнения

A)

B)

C)

D)

E)

Контрольные вопросы:

1. В какой последовательности решают рациональные уравнения?

2. Какие уравнения называются иррациональными?

3. Какие приемы используют для решения иррациональных уравнений?

F)