Занятие внеурочной деятельности в 9 классе на тему «Решение квадратных уравнений с параметрами»

Занятие внеурочной деятельности в 9 классе на тему

«Решение квадратных уравнений с параметрами»

Цель:

• Познакомить учащихся с решением квадратных уравнений с параметрами;

• Формировать основной подход к решению задач с параметрами;

• Развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации;

• Активизировать познавательную и творческую деятельность.

План занятия

I.Организационный момент.

II.Актуализация теоретических знаний.

III.Объяснение нового материала на конкретных примерах. Решение квадратных уравнений с параметрами.

IV. Домашнее задание.

V/ Итоги урока

Ход урока

1. Организационный момент. Приветствие обучающихся,

2. Актуализация теоретических знаний.

• - Какое уравнение называется квадратным?

• - Квадратным или линейным является уравнение

• 

а) при b=6; б)0; в) b=0,5; г) b=5?

• -Какое квадратное уравнение называется приведенным?

• -Какое выражение называют дискриминантом?

• -Сколько корней может иметь квадратное уравнение? (формулы).

• -Теорема Виета и обратное утверждение.(записать)

• Что значит решить уравнение с параметром?

• (Решить уравнение с параметром – значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения.)

Не решая квадратного уравнения, определите знаки его корней.

а) х² – 10х + 21 = 0 (один корень – положительный, второй – отрицательный).

б) х² + 9х + 14 = 0 (два корня отрицательные).

в) х² – 7х – 18 = 0 (один корень – положительный, второй – отрицательный).

г) 2х² – 5х + 7 = 0 (корней нет).

3. Объяснение нового материала на конкретных примерах. Решение квадратных уравнений с параметрами.

При решении квадратного уравнения с параметрами контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при обращается в 0. Дело в том, что если этот коэффициент равен 0, то уравнение превращается в линейное и решается по соответствующему алгоритму; если же этот коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение, которое решается по иному алгоритму. Дальнейшее решение зависит от D.

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с параметрами.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение: Здесь коэффициент перед отличен от 0 , значит, данное уравнение при любых значениях параметра является квадратным. Найдем дискриминант:

D=

 D , значит, квадратное уравнение имеет два различных корня.

p+2 и p-1

Ответ: при любых значениях р p+2 ; p-1.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение: Мы не можем утверждать, что данное уравнение является квадратным. Рассмотрим контрольное значение р=0, имеем два случая.

Если р=0, то получается уравнение вида 0 + х=1.

Если р≠0. То уравнение является квадратным, можно применять формулу D= - 4р(-1)=1-2р+ +4р= ; ; .

Ответ: при р=0 х=1, при р≠0 ; .

Пример 3. Решить уравнение

(а–1)х²+2(2а+1)х+(4а+3)=0.

Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х

а–1=0  а=1

Решим уравнение при а=1

0х²+2(21+1)х+41+3=0  6х+7=0  .

Найдем значения параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения

D=(2(2а+1))²–4(а–1)(4а+3)=(4а+1)²–(4а–4)(4а+3)=4(5а+4)

4(5а+4)=0  .

Решим уравнение при , в этом случае уравнение будет иметь один действительный корень

 

9х²+6х+1=0  (3х+1)²=0  .

Решим уравнение при а1, . В этом случае D

Решим уравнение при а1, . В этом случае уравнение имеет два действительных корня

Ответ: 1) при , ;

2) при а=1, ;

3) при , действительных корней нет;

4) при и а1, .

Пример 4. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Решение:

1.Если то мы получим линейное уравнение

При

При решений нет.

2.При дискриминант D должен равняться нулю, т.е.

Случай уже рассмотрен.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при

Пример 5.

При каких значениях параметра уравнение

имеет два разных положительных корня?

Решение:

Для того, чтобы квадратное уравнение имело два разных действительных корня, необходимо, чтобы дискриминант был больше 0.

По теореме Виета:

Таким образом, имеем систему неравенств :

Ответ: уравнение имеет два разных положительных корня,

если .

Пример 6.

При каком наибольшем целом значении параметра корни уравнения

находятся по разные стороны промежутка ?

Решение:

Запишем левую часть уравнения как функцию

Нарисуем график этой функции ( схематично).

Мы видим, что корни уравнения находятся по разные стороны промежутка

, если выполняются условия:

Ответ:

Пример 7.

При каком значении параметра произведение корней уравнения

будет наибольшим?

Решение:

По теореме Виета произведение корней этого уравнения равняется :

Сумма двух положительных чисел принимает наименьшее значение, если одно из слагаемых равно нулю. Итак ,

Ответ:

4. Домашнее задание.

1.При каких значениях а уравнение (а+2) +2(а+2)х+2=0 имеет один корень?

2.Решить уравнение .

3. Решить уравнение

4. Решить уравнение ( 2 -b-6) = 4(b+1)x-2.

5. Итоги урока

• Какие цели стояли на уроке?

• Достиг ли каждый из вас цели урока?

• Какие вопросы возникли в ходе решения квадратных уравнений с параметрами?

Литература.

1.Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1992

2.Математика для старшеклассников. Методы решения задач с параметрами /А.И. Азаров,С.А. Барвенков-Мн.:»Аверсэв»,2003-272с.

3. Дорофеев Г.В., Затакавай В.В., Решение задач, содержащих параметры.- М.: Науч.-пед. об-ние “Перспектива”, 1990.- 4.2- 38 с.

4. Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям/ Мещерякова Г.П.. – Математика в школе №5, 2001.