Задания на тему «Начала математического анализа. Первообразная и интеграл»

Приложение № 6.1

Задания на тематику «Начала математического анализа.

Последовательности. Производная» № 6.1

ОДП.12 Математика для специальности 15.02.08

Раздел 6. Начала математического анализа

Тема 6.1. Последовательности. Производная

Задание 1. Тест по теме «Производные функций»

1. Производная – это?

1. конечный предел отношения приращения функций к приращению аргумента когда она стремится к нулю;

2. дифференциал аргумента;

3. приращение аргумента;

4. нет правильного ответа.

1. Дифференцированием называется?

1. дифференциал;

2. нахождение приращения аргумента;

3. интегрирование;

4. нахождение производной.

1. Чему равна производная от любого постоянного числа?

1. единице;

2. самому себе;

3. нет правильного ответа;

4. нулю.

1. Геометрический смысл производной - это?

1. угловой коэффициент касательной к графику функций;

2. касательная;

3. скорость изменения функций;

4. дифференцирование.

1. Физический смысл производной - это?

1. угловой коэффициент;

2. скорость изменения функций в заданной точке;

3. касательная к графику функций;

4. изменение функций.

1. Чему равна производная от функции sin x?

1. нулю;

2. cos x;

3. единице;

4. нет правильного ответа.

1. Чему равна производная от функции x?

1. нулю;

2. x;

3. 1;

4. нет правильного ответа.

1. Что означает значение, которое вы видите?

1. дифференциал;

2. обозначение производной;

3. дифференциал функций;

4. дифференциал аргумента.

1. Какую формулу мы видим?

1. производная от частного;

2. производная от произведения;

3. дифференциал;

4. производная суммы.

1. Что означает данная формула?

1. дифференциал;

2. геометрический смысл производной;

3. понятие производной;

4. нет правильного ответа.

1. Какую формулу мы видим?

1. производная от частного;

2. производная от произведения;

3. дифференциал;

4. производная суммы.

1. Чему равна производная от функции cos x?

1. нулю;

2. sinx;

3. единице;

4. нет правильного ответа.

1. Укажите производную от функции tg x?

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

1. Нахождение производной - это?

1. интегрирование;

2. приращение аргумента;

3. дифференциал;

4. дифференцирование.

1. Укажите производную от функции сtg x?

1. ;

2. ;

3. 1;

4. 0.

1. Чему равна производная от функции 2х-1?

1. 2х;

2. х;

3. 2;

4. 2х-1.

1. Чему будет равна производная от функции 5х?

1. 5;

2. 5х;

3. 0;

4. 1.

1. Укажите производную от функции ln x?

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

1. Укажите производную от функции ?

1. -3x;

2. ;

3. ;

4. .

1. Чему будет равна производная от функции ?

1. -2x;

2. 2х;

3. x;

4. 1.

Ключи на тестовые задания по теме «Производные функций»

№ вопроса	Ответы
1	a
2	d
3	d
4	a
5	b
6	b
7	c
8	b
9	a
10	c
11	b
12	b
13	a
14	d
15	b
16	c
17	a
18	d
19	c
20	b

Задание 2. Ответить на вопросы.

1. Дать определение производной функции.

2. Что называется приращением аргумента, приращением функции?

3. Какой механический смысл имеет производная?

4. Сформулировать геометрический смысл производной.

5. Как найти производную суммы или разности?

6. Как найти производную произведения?

7. Как найти производную частного двух функций?

8. Дать определение дифференциала функции.

9. Сформулируйте правила нахождения производной сложной функции?

10. Как найти производную второго порядка? Производную четвертого порядка?

Задание 3. Найти производную функции.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. .

Задание 4. Найти производную сложной функции.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. .

Задание 5. Решить уравнение.

1. f′(x) = 0, если ;

2. f′(x) = 0, если ;

3. f′(x) = 0, если ;

4. f′(x) = 0, если .

Задание 6. Написать уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой

1. при = 2;

2. при = 3.

Задание 7. Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой и написать уравнение касательной в этой точке.

1. при ;

2. при .

Задание 8. Исследовать функцию с помощью производной и построить её график.

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задание 9. Найти значение производной функции

1. f(x)=7x³+8x²-4x+1 в точке х=-1.

2. f(x)=-5x²+3x⁴-2x+1 в точке х=1.

3. f(x)=x⁵-5x³--20x в точке х=-1.

4. f(x)=-3x³+2x²+4 в точке х=1.

Задание 10. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.

Задание 11. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.

 

Задание 12. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени   с.

Задание 13. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

 

Задание 14. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

 

Задание 15. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Задание 16. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

Задание 17. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Задание 18. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Задание 19. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.

 

Задание 20. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Задание 21. На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f '(8).

Задание 22. Прямая     параллельна касательной к графику функции   Найдите абсциссу точки касания.

 

Задание 23. Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции   ax² + 2x + 3. Найдите a.

Задание 24. На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна прямой y = 6x или совпадает с ней.

Задание 25. На рисунке изображены график функции   и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции   в точке x₀.

Задание 26. На рисунке изображен график производной функции  , определенной на интервале(-6;6). Найдите промежутки возрастания функции   В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Задание 27. На рисунке изображён график   — производной функции  , определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2 ] функция   принимает наибольшее значение?

Задание 28. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?

 

 

Задание 29. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

Задание 30. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Задание 31. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂, x₃, ..., x₉. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

ⁱЗадание 32. Известно, что бесшовная холоднокатаная труба ГОСТ 8734 массой m = 50 кг движется по стану прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.

ⁱⁱЗадание 33. Известно, что прочность на горизонтальный изгиб балки прямоугольного горизонтально сечения пропорциональна произведению ширины балки на квадрат высоты. Найти отношение ширины к высоте поперечного сечения наиболее прочной балки, которую можно вырезать из цилиндрического бревна диаметром d см.

ⁱⁱⁱЗадание 34. АО «ПНТЗ» поручается погрузка 100 баллонов среднего объема и выделяется на это 10000 рублей. Но из этой суммы вычитается 400 рублей за каждый час погрузки. АО «ПНТЗ» заключает договор с бригадой грузчиков, по которому они получают премию в 100   рублей,  – скорость погрузки. При какой скорости АО «ПНТЗ» получит максимальную прибыль, и какова величина этой прибыли?

^ivЗадание 35. Новотрубный завод производит тонн профильной трубы в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 тонн профильной трубы. Производственные мощности завода таковы, что выпуск профильной трубы не может превышать 90 тонн в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид: К= -х³+98х²+200х.

^vЗадание 36. АО «ПНТЗ» производит единиц тройников ТС в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x³+600x-1000. Определите дальнейший рост производства финансовых накоплений.

^viЗадание 37. На территории АО «ПНТЗ» строится зал в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из граней, которая должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота зала должна быть 4м, а площадь, 80м². Известно, что 1м² стеклянной стены стоит 75 руб., а обычной 50 руб. Какими должны быть размеры зала, чтобы общая стоимость всех стен была наименьшей?

^viiЗадание 38. Имеется 40 м проволочной сетки. Требуется оградить три стороны прямоугольного участка земли, примыкающего четвертой стороной к стене цеха АО «ПНТЗ». Каковы должны быть размеры участка, чтобы его площадь была наибольшей, если длина стены цеха равна: а) 30м; б) 10м?

Задание 39. Вычислите пять первых членов последовательностей:

1. ;

1. ;

1. ;

1. ;

1. ;

1. .

i^ *Задания по запросу работодателя

ii^ *Задания по запросу работодателя

iii^ *Задания по запросу работодателя

iv^ *Задания по запросу работодателя

v^ *Задания по запросу работодателя

vi^ *Задания по запросу работодателя

vii^ *Задания по запросу работодателя

11