Задачи на делимость

ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ

Дереженко Данила

Ученик 6 «Б» класса

МБОУ СОШ №9 г. Воронежа

2018 г.

Задачи:

• 1. Исследовать значимость задач на делимость в школьном курсе математики.
• 2. Провести анализ различных способов решения задач на делимость.
• 3. Начать готовиться к единому государственному экзамену по математике.
• 4. Пропагандировать необходимость изучения данной темы в школьном курсе математики.

ПАСКАЛЬ  Блез  (1623-62)

Французский математик, физик, религиозный философ и писатель.

ЗАДАЧИ НА

ДЕЛИМОСТЬ

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА 2 НУЖНО, ЧТОБЫ ПОСЛЕДНЯЯ ЦИФРА ДЕЛИЛАСЬ ЧИСЛА НА 2

ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА 3 НУЖНО,

ЧТОБЫ СУММА ЦИФР ЧИСЛА ДЕЛИЛАСЬ НА 3

ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА 5 НУЖНО,

ЧТОБЫ ПОСЛЕДНЯЯ ЦИФРА ЧИСЛА БЫЛА 0 ИЛИ 5

ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА 9 НУЖНО,

ЧТОБЫ СУММА ЦИФР ЧИСЛА ДЕЛИЛАСЬ НА 9

ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА 10 НУЖНО,

ЧТОБЫ ПОСЛЕДНЯЯ ЦИФРА ЧИСЛА БЫЛА 0

Признаки делимости чисел можно классифицировать следующим образом:

• Делимость по последним цифрам числа
• Делимость по сумме цифр числа
• Делимость составных чисел

Найдите наименьшее число, записываемое только при помощи двоек, единиц и нулей, которое бы делилось на 225.

• Число должно делиться на 25, поэтому оно оканчивается не менее, чем на два нуля. Число должно делиться на 9 ,поэтому сумма цифр должна делится на 9, значит, она не менее 9. Представим 9 наименьшим числом слагаемых:9=2+2+2+2+1. Чтобы число было меньше, 1 должна стоять в начале числа.

Ответ:1222200.

При делении некоторого числа на 13 и 15 получились одинаковые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе деление без остатка. Найти это число.

• Пусть число А = 13 х + 8 , тогда по условию

А = 15 х , решив уравнение 13х + 8 = 15х,

получим х= 4.

Значит, число А = 60. Ответ: 60

Любитель арифметики перемножил первые 2002 простых числа. На сколько нулей заканчивается произведение? (А) 0    (В) 1    (С) 10    (D) 20    (Е) 100

• Решение. Ясно, что один ноль в произведении есть: и 2, и 5 входят в набор первых 2002 простых чисел. Так же ясно должно быть, что больше нулей в этом произведении нет, поскольку сомножители не повторяются, а других способов получить ноль на конце произведения нет. Ответ — В.

НАЙДИТЕ ВСЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ КОТОРЫХ РАВНО 78, А НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН 13.

• Решение. 1. Пусть a и b натуральные числа, тогда по свойству НОК(a,b)∙НОД(а,b)=а∙b имеем 13∙78=a∙b. 2. Разложим левую часть равенства на простые множители 13∙13∙2∙3=а∙b 3. Подбором находим искомые пары чисел a=13∙3=39 b=13∙2=26 или a=13∙3∙2=78 b=13 Ответ: 39 и 26, 78 и 13.

-

-

-

-

-

Какие цифры можно вставить вместо звездочки, чтобы число делилось на 2?

5749

+

+

+

+

+

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0; 2; 4; 6; 8 .

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

-

-

-

-

-

-

-

-

Какие цифры можно вставить вместо звездочки, чтобы число делилось на 5?

5749

+

+

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0; 5 .

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Какие цифры можно вставить вместо звездочки, чтобы число делилось на 10?

5749

+

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0 .

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

;)

• Каждая буква в слове НЕПЛОХО заменена одной из цифр 1,2,3,4,5 и 6. Разные буквы заменены разными цифрами, а одинаковые - одинаковыми. Полученное число делится на 3, но не делится на 2. На какую цифру заменена буква О?

Спасибо за внимание!

Приложение:

ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА 4 НУЖНО, ЧТОБЫ ЧИСЛО, ЗАПИСАННОЕ ДВУМЯ ПОСЛЕДНИМИ ЦИФРАМИ, ДЕЛИЛОСЬ НА 4

ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА 6 НУЖНО, ЧТОБЫ ЭТО ЧИСЛО ОДНОВРЕМЕННО ДЕЛИЛОСЬ НА 2 И НА 3

НАПРИМЕР

• Число 1161 не делится на 6 , так как оно не делится на 2

• Число 126954 делится на 6 , так как оно делится на 2

(последняя цифра 4)

и на 3 (сумма 1+2+6+9+5+4=27 делится на 3)

ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 7 , ЕСЛИ ИЗ ЧИСЛА ДЕСЯТКОВ ВЫЧИСТЬ УДВОЕННОЕ ЧИСЛО ЕДИНИЦ , ПОЛУЧИТСЯ ЧИСЛО КРАТНОЕ 7

НАПРИМЕР

• Число 161 делится на 7 , так как 16-1*2=14 , число 14 делится на 7
• Число 3697 не делится на 7 , так как 369-7*2=355 , а 355 не делится на 7

ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА 8 НУЖНО, ЧТОБЫ ЧИСЛО, ЗАПИСАННОЕ ТРЕМЯ ПОСЛЕДНИМИ ЦИФРАМИ, ДЕЛИЛОСЬ НА 8 ИЛИ ЯВЛЯЛОСЬ НУЛЯМИ

НАПРИМЕР

• Число 125000 делится на 8 , так как на конце три нуля
• Число 65728 делится на 8 , так как число 728, составленное из последних трех цифр числа, делится на 8
• Число 1204 не делится на 8 , так как число 204 , составленное из последних трех цифр числа, не делится на 8

ДЛЯ ДЕЛИМОСТИ ЧИСЛА НА 11 НУЖНО, ЧТОБЫ РАЗНОСТЬ МЕЖДУ СУММОЙ ЦИФР, СТОЯЩИХ НА ЧЕТНЫХ МЕСТАХ И НЕЧЕТНЫХ МЕСТАХ , ДЕЛИЛАСЬ НА 11

НАПРИМЕР

• Число 103785 делится на 11 , так как сумма цифр, занимающих нечетные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих четные места, 0+7+5=12 . Разность 12-12=0 делится на 11
• Число 3298 не делится на 11 , так как 3+9=12 , 2+8=10 . Разность

12-10=2 на 11 не делится

ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 19 ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ЧИСЛО ЕГО ДЕСЯТКОВ В СУММЕ С УДВОЕННЫМ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦ , КРАТНО 19

НАПРИМЕР

• Число 551 делится на 19 , так как 55+1*2=57 делится на 19

• Число 6003 не делится на 19 , так как 600+3*2=606 не делится на 19

ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 25 ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ДВЕ ПОСЛЕДНИЕ ЦИФРЫ НУЛИ ИЛИ ОБРАЗУЮТ ЧИСЛО, ДЕЛЯЩЕЕСЯ НА 25

НАПРИМЕР

• Число 7150 делится на 25 , так как последние две цифры образуют число 50 , делящееся на 25
• Число 1292 не делится на 25 , так как 92 не делится на 25

ЛИТЕРАТУРА

• М. Я. Выгодский Справочник по элементарной математике, - М.: Наука, 1965 г.
• А. С. Чесноков и др. Дидактические материалы 6 кл. 2015 г.
• По материалам:

http:// historyvt.narod.ru

http://www.myshared.ru/slide/909390 /

http:// uchitelya.com/matematika/41554-prezentaciya-delimost-chisel-6-klass.html

https:// nsportal.ru/shkola/matematika/library/2016/10/03/priznaki-delimosti-trening-6-klass

https:// multiurok.ru/index.php/files/priezientatsiia-zadachi-na-dielimost.html

https:// infourok.ru/material.html?mid=12912

https:// www.bestreferat.ru/referat-397187.html

https://ankolpakov.ru/2018/09/02/olimpiadnye-zadachi-na-delimost /