Возрастание и убывание функции. Экстремум функции

Областное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Курский базовый медицинский колледж»

Льговский филиал

Методическая разработка

урока

по учебной дисциплине: «Математика»

тема: «Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.»

Разработала: Азарцова Лилия Александровна,

преподаватель математики

г. Льгов

Пояснительная записка

Методическая разработка учебного занятия «Возрастание и убывание функции. Экстремум функции» написана в соответствии с действующей программой по математике для средних специальных учебных заведений на базе средней школы.

Материал разработки представлен в виде комбинированного занятия. На уроке применяются различные формы работы со студентами: индивидуальная, фронтальная, групповая. Повторение пройденного материла, проходит в игровой форме: математического лото и разгадывания криптограммы. Это способствует развитию умственной деятельности студентов, совершенствует их мышление, внимание, творческое воображение. Новый материал излагается в форме лекции, приводится алгоритм нахождения промежутков монотонности, экстремума функции, рассматривается пример. Для закрепления нового материала студенты делятся на пять малых групп. Каждая группа выполняет свое задание, и затем обсуждается каждое решение со всеми студентами. Такая форма работы способствует формированию творческих и исследовательских навыков студентов.

В результате изучения темы «Возрастание и убывание функции. Экстремум функции» студент должен:

знать:

• необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции, существования экстремума;

уметь:

• применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции.

Предмет: математика

Курс: первый

Специальность: 34.02.01 «Сестринское дело»

Тема урока: «Возрастание и убывание функции. Экстремум функции»

Вид занятия: Комбинированный урок

Цели урока:

1. Дидактическая:

• выработать умения при нахождении промежутков монотонности функции с помощью производной;

• ввести понятие критических точек функции; формировать умение находить экстремумы функции;

• контроль усвоения данной темы.

1. Развивающая:

   • развивать логическое мышление; математическую речь, память

1. Воспитательная:

• воспитание у студентов самостоятельной и групповой работы, ответственности за конечный результат.

Учебно-наглядные пособия:

1.ТСО:

• мультимедийный проектор;

• CD с презентационным материалом по теме «Возрастание и убывание функции. Экстремум функции»

2. Плакаты:

• Криптограмма;

• Плакат «Мало знать, надо уметь

Мало хотеть, надо делать»

И. Гете

3. Раздаточный материал:

• карта заданий и ответов для проверки усвоения пройденного материала;

• карточки для работы в группах;

• индивидуальные карточки заданий для проверки усвоения нового материала.

ПЛАН УРОКА

1. Организационный момент (2мин.)

1. Приветствие.

2. Проверка присутствующих по рапорту дежурного.

1. Объявление темы и постановка целей урока (2 мин.)

2. Проверка усвоения учебного материала (10мин.)

   • самостоятельная работа (математическое лото) с взаимопроверкой.

1. Актуализация знаний (6 мин.)

• решение криптограммы

• фронтальный опрос по теме «Свойства функции»

1. Изложение новой темы (25мин.)

• показать применение производной при исследовании функции на монотонность;

• ввести понятие критических точек функции;

• формирование умение находить экстремумы функции.

1. Закрепление полученных знаний (27мин.)

• работа в группах;

• разбор примеров у доски

1. Самостоятельная работа (10 мин.)

1. Историческая справка (5 мин.)

1. Подведение итогов урока (2мин.)

• рефлексия учащихся;

• выставление оценок с комментариями

Х. Домашнее задание (1мин.)

• инструктаж по домашнему заданию

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

1. Приветствие.

2. Проверка присутствующих по рапорту дежурного.

II. Объяснение темы и постановка целей урока

Понятие производной—одно из важнейших в математике. С помощью производной, учитывая ее механический смысл (скорость изменения некоторого процесса) и геометрический смысл (угловой коэффициент касательной), можно решить самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. В частности, с помощью производных стало возможным подробное исследование функций, что позволило очень точно строить их графики. Сегодня познакомимся с основными идеями, связанными с исследованием функции: как с помощью производной определить интервалы монотонности функции; точки максимума и минимума функции.

III. Проверка усвоения учебного материала

Самостоятельная работа (математическое лото) с взаимопроверкой.

Студенты находят дифференциалы функций в указанном порядке, находят ответы и записывают букву. В результате выполнения задания они получают слово: знать (вариант 1), уметь (вариант 2), делать (вариант 3).

Обратить внимание студентов на следующие высказывание (плакат):

Мало знать, надо уметь

Мало хотеть, надо делать.

И. Гете.

Вариант 1

Задание: Найти дифференциал функции

1. y=

2. y=

3. y=

4. y=

5. y=tg x+

6. Ответы

Вариант 2

Задание: Найти дифференциал функции

1. y= -

2. y= -3cosx(

3. y=

4. y=

5. y=x

1. Ответы

Вариант 3

Задание: Найти дифференциал функции

1. y=-

2. y=

3. y=

4. y=

5. y=

6. y=

Ответы

IV. Актуализация знаний

1. Решение криптограммы

Криптограмма

1. Швейцарский ученый, математик и механик (XVIII в) ученик Бернулли, член Петербургской Академии Наук, основоположник современной тригонометрии, математического анализа, геометрии.( Эйлер)

2. Интервал, отрезок, луч – обобщающие понятие.(Промежуток)

3. Характер поведения функции. (Возрастание)

4. Свойство функции. ( Четность)

5. Свойство монотонности функции. (Непрерывность)

6. Предельное положение секущей графика функции. (Касательная)

7. Прямая, к которой неограниченно приближается график кривой

при x .(Асимптота)

1. Тригонометрическая функция. (Синус)

2. Прямая, проходящая через данную точку графика функции перпендикулярна к касательной в этой точке. (Нормаль)

Сегодня вы познакомитесь с новым понятием – экстремум. В переводе с латинского extremum (экстремум) означает «крайнее».

2.Фронтальный опрос по теме «Свойства функции»

• Дать определение возрастающей функции на интервале.

• Дать определение убывающей функции на интервале.

• Что значит функция монотонна?

V. Изложение новой темы

По плану:

1. Необходимый признак возрастания (убывания) функции.

Теорема 1. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) в данном интервале, то производная этой функции не отрицательна (не положительна) в этом интервале.

Геометрически утверждение теоремы означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ох или, быть может, в отдельных точках, вроде точки М (cлайд 3), касательная параллельно оси Оx; значит, f’(х)=tg . Аналогично, касательные к графику убывающей функции образуют тупые углы с положительным направлением оси Ox или, быть может, в отдельных точках, вроде точки N (слайд 3), касательная параллельна оси Оx; поэтому f’(х)=tg
Обратное заключение также справедливо, оно выражается следующей теоремой.

1. Достаточный признак возрастания (убывания) функции.

Теорема 2. Если производная функции y=f(x) положительна(отрицательна) в некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).

Поясним эту теорему геометрически. Имеем f’(х)=k= tg .Если f’(х)0, то tg 0,т. е. угол - острый, а это возможно лишь при возрастании функции (cлайд 4).

Если f’(х)0, то tg - тупой, а это возможно лишь при убывании функции (слайд 4).

Таким образом, возрастание или убывание функции на интервале вполне определяется знаком производной этой функции.
В интервале знакопостоянства производной функция является монотонной.

Мы установили, что интервалы возрастания или убывания функция совпадают с интервалами, в которых производная этой функции сохраняет знак. Следовательно, переход от возрастания к убыванию или обратно возможен лишь в точках, где производная меняет знак. Такими точками могут служить только такие точки, в которых f’(х)=0, а также точки разрыва.

Поэтому интервалы монотонности мы получим, если разделим область определения функции на части, границами которых служат те точки, в которых f’(х)=0, и точки разрыва.

1. Определение точки максимума (минимума) функции. Экстремум функции.

Точка х=а называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если имеет место неравенство f(a)f(x) (соответственно f(a)f(x)) для любого x из некоторой окрестности точки х=а.

Максимум и минимум функции объединяют названием экстремум функции, а точки максимума и минимума называют точками экстремума (экстремальными точками).

Не следует считать, что максимум функции является наибольшим значением во всей области определения этой функции; он является наибольшим лишь по сравнению со значениями функции, взятыми в некоторой окрестности точки максимума.

На данном интервале функция может иметь несколько максимумов и минимумов, причем некоторые из максимумов могут быть меньше некоторых минимумов.

Аналогично, минимум функции не обязательно является наименьшим значением данной функции.

1. Необходимый признак экстремума.

Теорема 3. Если х=а является точкой экстремума функции у =f(x) и производная в этой точке существует, то она равна нулю: f’(а)=0.

Доказательство. Производная функции f(x)в точке х=а не может быть отличной от нуля, так как в случае f’(а)0 функция f(х) возрастала бы в некотором интервале, содержащем точку a, а в случае f’(а)-убывала бы в некотором интервале, содержащем точку а; другими словами, при f’(а)0 и f’(а)функция f(x) не имеет экстремума в точке а, что противоречит условию. Значит, f’(а)=0.

Геометрически необходимый признак экстремума означает, что если х= а — точка экстремума функции у = f(x),то касательная (в том случае, когда она существует) к графику этой функции в точке (а;f(a)) параллельна оси Ох (слайд 8).

Легко убедиться в том, что необходимое условие экстремума не является достаточным, т. е. из того факта, что f’(а)=0,вовсе не следует, что функция f(x)имеет экстремум при х=а. Например, для функции, слайд, касательная МT параллельна оси Оx, т.е. f’(а) = 0, однако экстремума в этой точке функция не имеет.

Таким образом, обращение первой производной в нуль является необходимым, но не достаточным условием экстремума.

1. Достаточный признак экстремума.

Теорема 4. Если производная f’ (x) при переходе х через а меняет знак, то а является точкой экстремума функции f(x).

Доказательство. Пусть при переходе х через а производная меняет знак с плюса на минус. Тогда слева от а производная положительна и, следовательно, здесь находится интервал возрастания функции. Справа же от а производная отрицательна, и поэтому здесь находится интервал убывания функции. Точка отделяющая интервал возрастания функции от интервала убывания, есть точка максимума.

Аналогично доказывается, что если при переходе х через а производная меняет знак с минуса на плюс, то а является точкой минимума.
Смысл теоремы 4 наглядно иллюстрирует слайд 8. Точка а — критическая, так как f’ (а)=0. Слева от этой точки, т. е. при хf’ (а)0; касательная к кривой образует с осью Ох острый угол и функция возрастает.
Справа от этой точки, т. е. при ха, имеем f’ (а); касательная к кривой образует с осью Ох тупой угол и функция убывает. При х = а функция переходит от возрастания к убыванию, т. е. имеет максимум.
Для функции, изображенной слайде, при переходе через критическую точку х=а производная не меняет знак и в этой точке нет экстремума.

Таким образом, исследование производной у’=f’(х) позволяет во многом изучить поведение функции у=f(х). При этом нужно понимать, что в своих рассуждениях мы с помощью известного графика функции находили значения производной на тех или иных участках кривой.

На практике же, конечно, поступают наоборот: рассматривают производную некоторой функции и с ее помощью исследуют характер функции.

1. Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.

   1. Найти область определения данной функции f(x).

   2. Вычислить производную f (x) данной функции

   3. Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции.

   4. Найденными точками область определения функции разбивается на интервалы, на каждом из которых производная сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности.

   5. Исследуют знак производной на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале f (x)0, то на этом интервале возрастает; если же f (x), то на таком интервале убывает.

   6. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.

   7. Вычислить значения функции в каждом экстремальной точке.

Пример.

Используя алгоритм, исследуйте на экстремум следующую функцию

y=

1. D(f)=(

1. у’=x

2. у

   +

   +

   
   

   4..

   ’=0; x =0 - критические точки

f’(х)

1

3

VII. Закрепление полученных знаний

1.Работа в группах;

Студенты делятся на 5 групп. Каждая группа получает карточку с заданием, в течении 10 минут выполняют его ( с использованием алгоритма) консультируясь с преподавателем.

Тема урока: Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции.

Задание

Найдите точки экстремума функции и определите их характер:

I группа

y=x + 3x +9x-6

II группа

y=x

III группа

y=x

IV группа

y=(x-5)e

V группа

y=

Ответы

I группа	II группа	IIIгруппа	IVгруппа	Vгруппа
Функция возрастает на D(f)	xmax=0 xmin=2	xmax=-2 xmin=2	xmin=4	xmin=0 xmax=2

1. Разбор примеров у доски

По одному представителю от группы поочередно студенты выходят к доске показывают свое решение. Идет обсуждение каждого решения.

VII. Самостоятельная работа

Вариант 1 Найдите точки экстремума функции и определите их характер: y=x

Вариант 2 Найдите точки экстремума функции и определите их характер: y=

Вариант 3 Найдите точки экстремума функции и определите их характер: y=(x+1)

Вариант 4 Найдите точки экстремума функции и определите их характер: y=-

Вариант 5 Найдите точки экстремума функции и определите их характер: y=

Ответы

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
xmax=-2 xmin=0	xmin=-2, xmin=1, xmax=0	xmax=-1 xmin=5	xmin=-7 xmax=7	xmin=3

VIII. Историческая справка (Доклад)

Дифференциальное исчисление.

IX. Подведение итогов урока

• рефлексия учащихся

Я умею …

Я знаю …

Хотелось бы лучше научиться …

Мне нравится …

Мне не нравится …

На уроке я чувствовала себя …

С домашней работой я …

• выставление оценок с комментариями

Х. Домашнее задание

[1], c.289-294, №№9.40; 9.45; 9.50

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1.Дадаян А.А. Математика. Москва ФОРУМ – ИНФРА – М, 2007

Дополнительная

2. Александрова Л.А. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. Москва «Мнемозина», 2006

3.Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика. Москва «Высшая школа»,

1991

21