Урок по теме: "Сфера".

Окружность и круг

• Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки.

r

d

• r – радиус;

• d – диаметр

r

• Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Определение сферы

• Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ( R) от данной точки ( центра т.О).

• Сфера – тело полученное в результате вращения полуокруж-ности вокруг её диаметра.

меридиан

• R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром.

R

О

• т. О – центр сферы

• D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр.

Параллель (экватор)

диаметр

• D = 2R

Шар

• Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

• Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара.

• Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

Исторические сведения о сфере и шаре

• Оба слова « шар » и « сфера » происходят от греческого слова «сфайра» - мяч.
• В древности сфера и шар были в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом вызывали образ сферы.
• Пифагорейцы в своих полумистических рассуждениях утверждали, что сферические небесные тела располагаются друг от друга на расстоянии пропорциональном интервалам музыкальной гаммы. В этом усматривались элементы мировой гармонии. Отсюда пошло выражение «музыка сферы».
• Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Солнцу, Земле, Луне и всем мировым телам. Так же он полагал, что Земля окружена рядом концентрических сфер.
• Сфера, шар всегда широко применялись в различных областях науки и техники.

Как изобразить сферу?

• 1. Отметить центр сферы (т.О)

• 2. Начертить окружность с центром в т.О

• 3. Изобразить видимую вертикальную дугу ( меридиан)

О

• 4. Изобразить невидимую вертикальную дугу

R

• 5. Изобразить видимую гори-зонтальную дугу (параллель)

• 6. Изобразить невидимую горизонтальную дугу

• 7. Провести радиус сферы R

Уравнение окружности

• Зададим прямоугольную систему координат О xy

• Построим окружность c центром в т. С и радиусом r

М(х;у)

у

• Расстояние от произвольной т. М ( х;у) до т.С вычисляется по формуле:

С(х 0 ;у 0 )

• МС = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2

МС = r , или МС 2 = r 2

О

х

следовательно уравнение

окружности имеет вид:

(x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = r 2

Уравнение сферы

• Зададим прямоугольную систему координат О xyz

• Построим сферу c центром в т. С и радиусом R

М(х;у ;z )

z

R

МС = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2

C(x 0 ;y 0 ;z 0 )

• МС = R , или МС 2 = R 2

следовательно уравнение

сферы имеет вид:

у

х

(x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2

r d d = r Если d = r , то прямая и окружность имеют 1 общую точку. Если d Если d r , то прямая и окружность не имеют общих точек." width="640"

Взаимное расположение окружности и прямой

Возможны 3 случая

r

d r

d

d = r

Если d = r , то прямая и окружность имеют 1 общую точку.

Если d

Если d r , то прямая и окружность не имеют общих точек.

Взаимное расположение сферы и плоскости

• Введем прямоугольную систему координат Oxyz

z

• Построим плоскость α , сов-падающую с плоскостью Оху

• Изобразим сферу с центром в т.С, лежащей на положительной полуоси Oz и имеющей координаты (0;0; d) , где d - расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости α .

C (0 ;0; d)

у

O

• В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая…

х

α

Взаимное расположение сферы и плоскости

• Рассмотрим 1 случай

z

• d

C (0 ;0; d)

r

М

у

O

r = R 2 - d 2

х

• Сечение шара плоскостью есть круг.

α

• С приближением секущей плоскости к центру шара радиус круга увеличивается. Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной . Круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом.

Взаимное расположение сферы и плоскости

Рассмотрим 2 случай

z

• d = R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку

C (0 ;0; d)

у

O

х

α

R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек. C (0 ;0; d) у O х α" width="640"

Взаимное расположение сферы и плоскости

• Рассмотрим 3 случай

z

• d R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

C (0 ;0; d)

у

O

х

α

Площадь сферы

• Сферу нельзя развернуть на плоскость.

• Опишем около сферы многогран ник, так чтобы сфера касалась всех его граней.

• За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани

Площадь сферы радиуса R : S сф =4 π R 2

т.е.: Площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга

S шара =4 S круга