Урок геометрии по теме: "Площадь сферы ".

Площадь сферы

Площадь сферы

• Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле

Площадь сферы

• Около сферы можно описать многогранник с достаточно большим числом граней, объем которого будет достаточно точно выражать объем шара (равного ), а площадь боковой поверхности многогранника — площадь сферы.

Площадь сферы

• На рис. показан куб, описанный около сферы. Рассмотрим одну грань описанного многоугольника.

Площадь сферы

• Пирамида, полученная соединением вершин этой грани многогранника с центром сферы, и часть шара, заключенного в этой пирамиде, являются элементами, участвующими в дальнейших рассуждениях и расчетах.

Площадь сферы

• С одной стороны, объем V этой пирамиды высотой R равен

• где S основ — площадь соответствующей грани многогранника. Объем всего многогранника равен сумме объемов таких пирамид с одинаковой высотой R.

Площадь сферы

• Сумма их объемов равна

• S бок — площадь боковой поверхности многогранника. С другой стороны, сумма объемов элементов шара равна объему всего шара, равного

Площадь сферы

• Площадь S бок приближенно равна площади сферы S, а объем многогранника приближенно равен объему шара. Таким образом,

• Эти равенства тем точнее, чем большее число граней многогранника.

Площадь сферы

• Из формулы на предыдущем слайде следует, что

• Так как в этой формуле не участвуют величины, связанные с многогранником, то формула точна, т. е.