Урок алгебры в 10 классе Урок : « Свойства и графики функций y=sin x, y=cos x»

Урок алгебры в 10 классе

Урок : « Свойства и графики функций y=sin x, y=cos x»

Цели и задачи:

Образовательные: отработать навыки построения и чтения графиков функций и проверить знания по данной теме.

Развивающие: развивать умения, анализировать, применять имеющие знания у учащихся в изменённой ситуации.

Воспитательные: воспитывать у учащихся аккуратность, любознательность, бережное отношение к окружающему миру, нравственные качества.

Тип урока: комбинированный.

ХОД УРОКА

Все течет, все изменяется в окружающем нас мире, как заметили еще древние. Вращается вокруг своей оси земной шар, и день сменяет ночь, Земля вершит свой вечный бег вокруг Солнца, Солнце вместе со всеми своими планетами вечно летит в космические дали… Кажется, причем здесь математика, а тем более функции и графики.

Но, как образно заметил великий Г.Галилей, книга природы написана на математическом языке и ее буквы — математические знаки и геометрические фигуры, без них невозможно понять ее слова, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте.

А именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе.

А теперь, ребята, повторим свойства известных нам тригонометрических функций.

Назовите мне свойства этой функции Y = sin X (рис. 1).  

Рисунок 1

Свойства:

1. D(sin)=R

2. E(sin)=[-1;1]

3. sin(-x)=-sin, функция нечётная

4. Наименьший положительный период: 2π
   Sin (x+2πn)= sin x, n Є Z, x Є R.

5. sin x=0  при  x=πk, kЄ Z

6. sin x0, x Є (2πk;π+2πk), k Є Z

7. sin x

8. Наибольшее значение, равное 1, y=sin x принимает в точках x=π/2+ 2πk, k Є Z.

9. Наименьшее значение, равное -1 y=sin x принимает в точках x=3π/2+ 2πk, k Є Z.

Обратите внимание на следующий график y= cos x (рис. 2.)

Рисунок 2

Свойства:

1. D (cos)=R

2. E (cos)=[-1;1]

3. cos(-x)= cos x, функция чётная

4. Наименьший положительный период: 2π
   Cos (x+2πn)=cos x, n Є Z, x Є R

5. cos x=0 при  x=π/2+πk, kЄZ

6. cos x0, x Є (-π/2+2πk; π/2+2πk), k Є Z

7. cos x

8. Наибольшее значение, равное 1, y=cos x принимает в точках x= 2πk, k Є Z.

9. Наименьшее значение, равное -1 y=cos x принимает в точках x=π+ 2πk, k Є Z.

Начинаем? Дамы и господа! Леди и джентльмены! Сегодня у нас аукцион. С молотка пойдет имение графини Функции “Высокие горы, глубокие каньоны”. Покупка акций требует от вас профессионального мастерства и глубоких математических и информационных познаний, находчивости, остроумия. Наша графиня – большая оригиналка. У каждой акции своя “изюминка”. Для всех присутствующих небольшая справка – условия, при которых вы можете принять участие в аукционе :

1. Надо отгадать, что продается. Тот, кто отгадает, получает акцию синего цвета.

2. Надо назвать свою цену, то есть найти ответ. Решивший назвать цену (давший правильный ответ), получает одну акцию красного цвета, причем одна акция красного цвета равна трем акциям синего цвета.

3. На обдумывание цены отводится определенное время (1–5 мин).

4. Набравший наибольшее количество акций становится председателем акционерного общества.

На доске весит карта Донецкой области.

1. Продается географическая карта. Что продается?

Один из учеников дает ответ. Если произнесен неправильный ответ, то учитель говорит: “Кто больше?” услышав верный ответ, произносит: “Продано”, и отвечающему дается красная или синяя акции. Если не прозвучит правильный ответ, то акция остается у графини.

– Верно, продается область определения. (Отгадавший получает акцию синего цвета.)

Визитная карточка этого поместья:

Вариант 1.

Вариант 2.

Вы должны назвать цену (1 минута на обдумывание) этой акции, то есть найти область определения данной функции.

2. Наша уважаемая графиня очень любит музыку, и одно из своих любимых произведений она решила представить вам. (звучит музыка Моцарта, где ясно прослушиваться периоды.) Дамы и господа! Ваши ответы.

Ответ. Периодичность (акция синего цвета).

Кто станет обладателем акции красного цвета? Время на обдумывание 1-2 минута.

3. Графиня также обожает живопись и она представляет вам одну из картин своей коллекции. Ответ. Четность (акция синего цвета).

Кто станет обладателем красной акции? Время на обдумывание 3 минуты.

4. Следующая акция зашифрована в этой картине. Кто получает акции синего цвета? Ответ. Точки пересечения с осями координат.

Теперь ваша задача решиться на какую-то цену и стать обладателем двух красных акций.

5. Вот еще одна картина из коллекции графини. На ней изображен ребус. Разгадайте его и вы получите акцию синего цвета. Ответ. Производная.

Дамы и господа! Прошу назвать ваши цены! Торопитесь! Время на обдумывание 2 минуты.

6. И вновь картина из коллекции графини. Ответ. Точки экстремума.

Продано. Вы получаете акцию синего цвета. Кто же станет обладателем трех акций красного цвета? Найдите интервалы монотонности, наибольшее и наименьшее значение функции. Время на обдумывание 5–7 минут.

Чтобы расшифровать следующую акцию, нужно определить какое из свойств тригонометрических функций описано в каждой из этих пословиц?

Пословицы и поговорки

• Декабрь год кончает, а зиму начинает.

• У дороги конца нет.

• Повторенье - мать ученья.

• Не поклонясь до земли, и грибка не поднять.

• Оглядывайся на себя по три раза в день.

Продано! Вы получаете акцию синего цвета.

Я говорю:

Конь – лошадь – жеребенок;
Кот – кошка – котенок;
Бык – корова – теленок;
Баран – овца – ягненок;
Король – королева – принц;
Граф – графиня – …

Ответ. График.

• Изобразите в виде графиков тригонометрических функций смысл поговорки:

• 1) "Выше меры конь не скачет" у=|cos x| или y=|sin x|

• 2) Чем дальше в лес, тем больше дров

• 3) Тише едешь, дальше будешь

Сообщение: Графики тригонометрических функций нашли применение во многих отраслях. Например, в области изобразительного искусства.

Как-то раз итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742) создал розы. Нет, вовсе не те прекрасные растения, которые известны всем. Розы Гвидо Гранди радуют глаз правильными и плавными линиями, но их очертание не каприз природы – они предопределены математическими зависимостями.

Семейство роз Гвидо Гранди описывается графиком функции у = а*sin k , где а и k - некоторые числа. На рисунке изображены эти кривые при различных параметрах k. Очарованный результатами Гранди, немецкий геометр XIX в. Хабенихт также решил заняться математическим: «растениеводством». Хабенихт, путем многочисленных экспериментов «вырастил» замечательные экспонаты. А свои прекрасные цветы Гвидо Гранди собрал в одну книгу и назвал её «Цветник роз». В наши дни подобные эксперименты удобно проводить, имея под рукой персональный компьютер.

Тригонометрические функции также нашли применение в области физики. Давайте послушаем сообщение, приготовленное учащимся вашего класса. 

Графики можно складывать. На примере вы видите суммирующий зеленый график двух функций с одинаковым периодом.

Сложение графиков можно наблюдать в природе. В физике это явление называется интерференцией.
Процедура сложения гармонических колебаний – не формальный математический прием. Она тесно связана с реальными физическими процессами, самыми распространенными из которых является звук и свет.
Своеобразие, прелесть и красота звуков различных голосов и музыкальных инструментов получается при сложении простых или “чистых” тонов, частоты колебаний которых относятся как 1 : 2 : 3 : 4 и т.д.
Наиболее низкий звук называется основным, а все остальные, более высокие тона называются высшими тонами или обертонами. “Чистый” тон графически изображается синусоидой, как и положено гармоническим колебаниям, а звук, например, трубы дает тоже периодический, но сложный по форме график, получаемый сложением различных тонов.
Сложение волн в пространстве называется интерференцией. Если звуки одинаковых частот наложить друг на друга, то амплитуда суммарных колебаний может как удвоиться, так и стать равной нулю. Все зависит от того складываются ли волны без разности фаз или в противофазе.
Не надо обладать музыкальным слухом, чтобы заметить, как изменится тон, высота звука, гудка локомотива, когда встречный поезд проносится мимо вас. Пока оба поезда сближаются, тон был намного выше, чем после встречи, когда поезда начали удаляться друг от друга. Отчего же это происходит? Гудок встречного локомотива издает все время один и тот же звук вполне определенной частоты. Но ухо воспринимает различное число колебаний в секунду, в зависимости от того, двигаетесь ли вы навстречу гудку или удаляетесь от него. Двигаясь навстречу, человек за секунду улавливаете больше колебаний, так как источник звука сам движется навстречу. Звук кажется выше. И все происходит наоборот, если вы удаляетесь от источника – тогда звук кажется ниже по тону.
Такой эффект кажущегося изменения частоты называется эффектом Доплера, по имени австрийского физика Кристиана Доплера (1803–1853).
Изменение частоты у световых волн приводит к изменению цвета - чем выше частота, тем ближе к фиолетовому и дальше от красного будет цвет. Стало быть, при движении навстречу источнику света, красный цвет изменится на желтый, а, возможно, на зеленый, синий и фиолетовый. Анекдотичный случай произошел с американским физиком-экспериментатором Робертом Вудом (1868–1955). Однажды полицейский остановил автомобиль Вуда за езду на красный цвет. Вуд, пытаясь оправдаться, рассказал полицейскому, что при движении навстречу источнику красного цвета из-за эффекта Доплера этот цвет вполне мог показаться ему зеленым. Но полицейский все-таки оштрафовал Вуда, не за езду на красный свет, а за превышение скорости. Еще бы – для того, чтобы принять красный свет за зеленый, Вуд должен был мчаться навстречу светофору с фантастической скоростью в 135 млн км/ч. Но шутка – шуткой, а именно эффект Доплера позволил ученым сделать вывод о расширении Вселенной, и о том, что когда-то она была “сжата в точку”.

• Функция.

• Прочтите наоборот.

1)

• Что кружится, что ложится
  И на землю, и на крыши
  И о чем поэт зимою
  По ночам поэмы пишет?
  Это первое словечко.

• 2) А второе просто "на"

• 3)

• Ну, а третье? Угадайте,
  Что бежит по проводам?
  Напиши, что получилось
  И прочти наоборот
  Не запутайся, читая,
  Слово задом наперед.
  (снег на ток - котангенс)

1)

Привычное слово кудлатой наседки
Поставьте на первое место:

• 2)

• На месте втором посмотрите-ка - нота.
  Важна для любого оркестра

• 3)

• На третьем одна одинокая буква,
  пятнадцатая в алфавите

• 4)

• Один из волос на мордашке котенка
  На месте четвертом прочтите.

• Ответ: косинус.

• Рожденный пустыней колеблется звук.
  Колеблется синий на нитке паук.
  Колеблется воздух, прозрачен и чист.
  В сияющих звездах колеблется, лист.

Теперь выясним, кто станет председателем акционерного общества. Напоминаю: одна акция красного цвета равна трем акциям синего.

Идет подсчет количества акций и затем объявляется результат.

– Поздравляем председателя. Аукцион окончен. Имение графини продано!

Рефлексия (цветовая)

Постройте график функции у=2cosx одним из следующих  цветов, которые на ваш взгляд соответствуют вашему настроению от проделанной вами работы
Красный - отличное
Зеленый - хорошее
Синий – удовлетворительное

Заключительное слово учителя.

О какой кривой идёт речь?

Как утомительны вечные спуски,
Как утомительны вечные взлёты!...
В каждой ложбинке,
На каждой вершине –
Тщетна надежда – мечта о привале,
Об остановке и передышке. (синусоида)

Урок закончен. Спасибо за работу.