Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой на плоскости и в пространстве

Самостоятельная работа

• 1) Найдите скалярное произведение векторов, заданных своими координатами а(_; _; _) и b(_; _; _)
• 2) Найдите угол между этими векторами.
• 3) Даны координаты а=(α,_,_) и b=(_,_,α). Выяснить, при каком значении α векторы будут перпендикулярны.
• 4) Найдите проекцию вектора а(_,_,_) на вектор b+c, если b=(_,_,_), с=(_,_,_).

Пр l а= |a|cosα

• Прямая линия  – это геометрическая фигура, которая состоит из точек.
• Каждая точка имеет свои координаты по осям абсцисс и ординат.

Общее уравнение прямой на плоскости

• Уравнение вида  Ax + By + C =0 , где  x  и  y  – переменные, а  А ,  В  и  C  – это некоторые действительные числа, из которых  A  и  B  не равны нулю, задает прямую линию в декартовой системе координат  Oxy .
• В свою очередь, любая прямая линия на плоскости может быть задана уравнением вида  Ax + By + C =0 .

Общее уравнение прямой на плоскости

•   Ax + By + C =0 

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

• Вектор нормали - это вектор n(n 1 , n 2 ) перпендикулярный искомой прямой.
• Общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали составляется по формуле:
• n 1 (x-x 0 )+n 2 (y-y 0 )=0

Пример 1

• Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку М(-3;5) и вектор нормали к ней n(2;-8)

Связь между общим уравнением прямой и уравнением прямой по точке и вектору нормали

Каноническое уравнение прямой на плоскости

• Направляющий вектор прямой –это вектор р(р 1 ,р 2 ) параллельный ей.
• Общее уравнение прямой по направляющему вектору р(р 1 ,р 2 ) и точке М (х 0, у 0 ) называется каноническим уравнением прямой.

Пример 2

• Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку М(-2;3) и её направляющий вектор р(4;5)

Связь между общим уравнением прямой и каноническим уравнением

Уравнение прямой в отрезках

• Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида:

Геометрический смысл уравнения прямой в отрезках

• Числа a и b имеют весьма простой геометрический смысл. Это величины отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях, считая каждый от начала координат.

Пример 3

• Прямая на плоскости задана общим уравнением

• 3х-5у=-15

• Составить для этой прямой уравнение в отрезках и построить прямую.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

• Уравнение прямой линии, записанное в форме у=kx+b , называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

• Уравнение прямой с угловым коэффициентом в случае нашей задачи составляется по формуле

Угловой коэффициент

• Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к оси Ox .
• k=tgα

Угловой коэффициент

• k=tgα
• Если kо , функция возрастает и угол α острый.
• Если k , функция убывает и угол α тупой.

Пример 4

• Найти угловой коэффициент прямой 5x-3y+6=0
• Запишем уравнение прямой в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:

Пример 5

• Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если угловой коэффициент k=3 и прямая проходит через точку M(-1;2).

Уравнение прямой в пространстве

• может быть задано двумя своими точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) и

M 2 (x 2 , y 2 , z 2 )

• тогда прямая, через них проходящая, задается уравнением:

Пример 6 Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А (1; -2;3) и В (4; 6;9)

1

(-2)

3

1

4

6

9

(-2)

3