![Уравнение прямой на плоскости и в пространстве](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_0.jpg)
Уравнение прямой на плоскости и в пространстве
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_1.jpg)
![Самостоятельная работа](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_2.jpg)
Самостоятельная работа
- 1) Найдите скалярное произведение векторов, заданных своими координатами а(_; _; _) и b(_; _; _)
- 2) Найдите угол между этими векторами.
- 3) Даны координаты а=(α,_,_) и b=(_,_,α). Выяснить, при каком значении α векторы будут перпендикулярны.
- 4) Найдите проекцию вектора а(_,_,_) на вектор b+c, если b=(_,_,_), с=(_,_,_).
![Пр l а= |a|cosα](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_3.jpg)
Пр l а= |a|cosα
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_4.jpg)
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_5.jpg)
![Прямая линия – это геометрическая фигура, которая состоит из точек. Каждая точка имеет свои координаты по осям абсцисс и ординат.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_6.jpg)
- Прямая линия – это геометрическая фигура, которая состоит из точек.
- Каждая точка имеет свои координаты по осям абсцисс и ординат.
![Общее уравнение прямой на плоскости](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_7.jpg)
Общее уравнение прямой на плоскости
- Уравнение вида Ax + By + C =0 , где x и y – переменные, а А , В и C – это некоторые действительные числа, из которых A и B не равны нулю, задает прямую линию в декартовой системе координат Oxy .
- В свою очередь, любая прямая линия на плоскости может быть задана уравнением вида Ax + By + C =0 .
![Общее уравнение прямой на плоскости](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_8.jpg)
Общее уравнение прямой на плоскости
- Ax + By + C =0
![Уравнение прямой по точке и вектору нормали](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_9.jpg)
Уравнение прямой по точке и вектору нормали
- Вектор нормали - это вектор n(n 1 , n 2 ) перпендикулярный искомой прямой.
- Общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали составляется по формуле:
- n 1 (x-x 0 )+n 2 (y-y 0 )=0
![Пример 1](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_10.jpg)
Пример 1
- Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку М(-3;5) и вектор нормали к ней n(2;-8)
![Связь между общим уравнением прямой и уравнением прямой по точке и вектору нормали](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_11.jpg)
Связь между общим уравнением прямой и уравнением прямой по точке и вектору нормали
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_12.jpg)
![Каноническое уравнение прямой на плоскости](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_13.jpg)
Каноническое уравнение прямой на плоскости
- Направляющий вектор прямой –это вектор р(р 1 ,р 2 ) параллельный ей.
- Общее уравнение прямой по направляющему вектору р(р 1 ,р 2 ) и точке М (х 0, у 0 ) называется каноническим уравнением прямой.
![Пример 2](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_14.jpg)
Пример 2
- Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку М(-2;3) и её направляющий вектор р(4;5)
![Связь между общим уравнением прямой и каноническим уравнением](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_15.jpg)
Связь между общим уравнением прямой и каноническим уравнением
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_16.jpg)
![Уравнение прямой в отрезках](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_17.jpg)
Уравнение прямой в отрезках
- Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида:
![Геометрический смысл уравнения прямой в отрезках](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_18.jpg)
Геометрический смысл уравнения прямой в отрезках
- Числа a и b имеют весьма простой геометрический смысл. Это величины отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях, считая каждый от начала координат.
![Пример 3](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_19.jpg)
Пример 3
- Прямая на плоскости задана общим уравнением
- 3х-5у=-15
- Составить для этой прямой уравнение в отрезках и построить прямую.
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_20.jpg)
![Уравнение прямой с угловым коэффициентом](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_21.jpg)
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- Уравнение прямой линии, записанное в форме у=kx+b , называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
![Уравнение прямой с угловым коэффициентом](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_22.jpg)
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- Уравнение прямой с угловым коэффициентом в случае нашей задачи составляется по формуле
![Угловой коэффициент](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_23.jpg)
Угловой коэффициент
- Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к оси Ox .
- k=tgα
![Угловой коэффициент](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_24.jpg)
Угловой коэффициент
- k=tgα
- Если kо , функция возрастает и угол α острый.
- Если k , функция убывает и угол α тупой.
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_25.jpg)
![Пример 4](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_26.jpg)
Пример 4
- Найти угловой коэффициент прямой 5x-3y+6=0
- Запишем уравнение прямой в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
![Пример 5](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_27.jpg)
Пример 5
- Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом, если угловой коэффициент k=3 и прямая проходит через точку M(-1;2).
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_28.jpg)
![Уравнение прямой в пространстве может быть задано двумя своими точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2 )](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_29.jpg)
Уравнение прямой в пространстве
- может быть задано двумя своими точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) и
M 2 (x 2 , y 2 , z 2 )
- тогда прямая, через них проходящая, задается уравнением:
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_30.jpg)
![Пример 6 Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А (1; -2;3) и В (4; 6;9) 1 (-2) 3 1 4 6 9 (-2) 3](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_31.jpg)
Пример 6 Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А (1; -2;3) и В (4; 6;9)
1
(-2)
3
1
4
6
9
(-2)
3
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_32.jpg)
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bf655af08/img_phph0X4zw_12_33.jpg)