Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов

Как найти угол между векторами

• Можно ли без чертежа найти угол между векторами (4,5,7) и (-1;2;6)?

• Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

• Если векторы      заданы своими координатами:
• Если векторы      заданы своими координатами:
• Если векторы      заданы своими координатами:

• то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле
• то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле
• то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Как найти косинус угла между векторами?

cosφ-?

|a|-?

|b|-?

При каком условии векторы будут ортогональными (перпендикулярными)?

Чему равен угол между перпендикулярными векторами?

Чему равен косинус этого угла?

Чему равно скалярное произведение этих векторов?

• Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов:
• Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов:
• Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов:

ИХ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО НУЛЮ!

Пример 1

• 1) Найдите скалярное произведение векторов, заданных своими координатами а(2; -1; 3) и b(4; 0; 5)
• 2) Найдите угол между этими векторами
• 3) Найдите какой-нибудь вектор ортогональный вектору а.

Проекция вектора на ось

• Проекцией вектора а на ось l называется число, равное |a|cosα -произведение длины вектора а на косинус угла между вектором а и осью l.
• Обозначается проекция:
• Пр l а

Проекция вектора на ось

• Пр l а= |a|cosα

Свойства проекций векторов

• 1) При сложении векторов их проекции складываются
• 2) При умножении проекции на число его проекция умножается на это число

Пример 2

• План решения:
• 1) Найти длину вектора а
• 2) Найти координаты вектора b+c
• 3) Найти длину вектора b+c
• 4) Найти скалярное произведение векторов а и b+c
• 5) Вычислить косинус угла между а и b+c
• 6) Найти проекцию вектора а на вектор
• b+c

• Найдите проекцию вектора а(1,-3,4) на вектор b+c, если b=(3,-4,2), с=(-1,1,4)

Пример 3

• Даны координаты а=(α,-3,2) и b=(-3,-2,α). Выяснить, при каком значении α векторы будут перпендикулярны.

Пример 4

• Даны координаты вершин треугольника А(3,-1,-1), В(1,2,-7) и С(-5,14,-3).
• Найти косинус угла при вершине В.

Обобщение (запомним!)

Пр l а= |a|cosα