![Скалярное произведение векторов](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_0.jpg)
Скалярное произведение векторов
![Как найти угол между векторами](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_1.jpg)
Как найти угол между векторами
![Можно ли без чертежа найти угол между векторами (4,5,7) и (-1;2;6)?](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_2.jpg)
- Можно ли без чертежа найти угол между векторами (4,5,7) и (-1;2;6)?
![Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_3.jpg)
- Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними
![Если векторы заданы своими координатами: Если векторы заданы своими координатами: Если векторы заданы своими координатами: то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_4.jpg)
- Если векторы заданы своими координатами:
- Если векторы заданы своими координатами:
- Если векторы заданы своими координатами:
- то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле
- то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле
- то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле
![СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_5.jpg)
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
![Как найти косинус угла между векторами? cosφ-? |a|-? |b|-?](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_6.jpg)
Как найти косинус угла между векторами?
cosφ-?
|a|-?
|b|-?
![При каком условии векторы будут ортогональными (перпендикулярными)? Чему равен угол между перпендикулярными векторами? Чему равен косинус этого угла? Чему равно скалярное произведение этих векторов? Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов: Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов: Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов: ИХ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО НУЛЮ!](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_7.jpg)
При каком условии векторы будут ортогональными (перпендикулярными)?
Чему равен угол между перпендикулярными векторами?
Чему равен косинус этого угла?
Чему равно скалярное произведение этих векторов?
- Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов:
- Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов:
- Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов:
ИХ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНО НУЛЮ!
![Пример 1](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_8.jpg)
Пример 1
- 1) Найдите скалярное произведение векторов, заданных своими координатами а(2; -1; 3) и b(4; 0; 5)
- 2) Найдите угол между этими векторами
- 3) Найдите какой-нибудь вектор ортогональный вектору а.
![Проекция вектора на ось](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_9.jpg)
Проекция вектора на ось
- Проекцией вектора а на ось l называется число, равное |a|cosα -произведение длины вектора а на косинус угла между вектором а и осью l.
- Обозначается проекция:
- Пр l а
![Проекция вектора на ось](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_10.jpg)
Проекция вектора на ось
- Пр l а= |a|cosα
![Свойства проекций векторов](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_11.jpg)
Свойства проекций векторов
- 1) При сложении векторов их проекции складываются
- 2) При умножении проекции на число его проекция умножается на это число
![Пример 2](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_12.jpg)
Пример 2
- План решения:
- 1) Найти длину вектора а
- 2) Найти координаты вектора b+c
- 3) Найти длину вектора b+c
- 4) Найти скалярное произведение векторов а и b+c
- 5) Вычислить косинус угла между а и b+c
- 6) Найти проекцию вектора а на вектор
- b+c
- Найдите проекцию вектора а(1,-3,4) на вектор b+c, если b=(3,-4,2), с=(-1,1,4)
![Пример 3](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_13.jpg)
Пример 3
- Даны координаты а=(α,-3,2) и b=(-3,-2,α). Выяснить, при каком значении α векторы будут перпендикулярны.
![Пример 4](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_14.jpg)
Пример 4
- Даны координаты вершин треугольника А(3,-1,-1), В(1,2,-7) и С(-5,14,-3).
- Найти косинус угла при вершине В.
![Обобщение (запомним!) Пр l а= |a|cosα](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_15.jpg)
Обобщение (запомним!)
Пр l а= |a|cosα
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_16.jpg)
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_17.jpg)
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_18.jpg)
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_19.jpg)
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bee34ea1d/img_phpHYWeYY_11_20.jpg)