Синус,косинус и тангенс углов. Формулы сложения

Урок 67-68

Тема: Синус, косинус и тангенс углов. Формулы сложения

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Цели урока:

Образовательные – ввести формулы сложения, показать их применения при решении заданий.

Развивающие – вырабатывать навыки и умения использовать полученные формулы в тригонометрических преобразованиях, развивать математическое мышление учащихся, умение видеть и применить изученные тождества, развивать умения самостоятельной учебно-познавательной деятельности, развивать культуру речи и любознательность.

Воспитательные – побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю и самоанализу.

Ожидаемый результат: каждый учащийся должен знать формулы сложения и уметь применять их для преобразований тригонометрических выражений на уровне обязательных результатов обучения.

Ход урока.

1. Организационный момент. Проверить готовность к уроку. Сообщить тему урока. Обозначить задачи урока.

2. Актуализация знаний .

Устная работа. Фронтальный опрос по таблице значений тригонометрических функций.

1. Для каких значений угла имеет смысл выражения:

2. Какие знаки имеет синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей?

3. а) Чему равен ;б) Чему равен

4. а) Выразите в радианах б) Выразите в радианах

5. а) Назовите формулу, выражающую связь между синусом и

косинусом одного и того же угла. б) Чему равно выражение

6. а) Как выражается тангенс угла через косинус того же угла?

б) Как выражается котангенс угла через синус того же угла?

7. а) Назовите формулы приведения для первой, второй, третьей и четвертой четвертей.

• Найдите ошибку:

3. Изучение нового материала.

Косинус суммы и разности двух аргументов

Теорема 1. Для любых двух углов и справедливо тождество

.

Доказательство. На единичной окружности возьмем точки , и , соответствующие углам , , и .

Найдем координаты данных точек пользуясь определениями синуса и косинуса:

,

, .

Очевидно, что отрезки и равны как хорды, стягивающие равные дуги. Выразим длины этих отрезков через координаты точек , , и .

;

.

Так как , то, возводя обе части этого равенства в квадрат и выполняя преобразования, получаем цепочку эквивалентных равенств

. ■

Теорема 2. Для любых двух углов и справедливо тождество

.

Доказательство.

так как и .■

Синус суммы и разности аргументов

Предварительно докажем формулы:

1) ; 2) .

1) .

2)

Теорема 1. Для любых углов и справедливо тождество

.

Доказательство. Используя формулы 1) и 2), докажем теорему 1

■

Теорема 2. Для любых углов и справедлива формула

.

Доказательство.

так как , .

Тангенс суммы и разности двух аргументов

Тангенс суммы двух аргументов можно получить из рассмотренных выше формул:

4. Упражнения для закрепления

Пример№1.

Используя формулы сложения, вычислить cos75⁰ ; sin75⁰.
Решение:

соs 75⁰ = cos(45⁰ + 30⁰) = cos45⁰cos30⁰ – sin45⁰sin30⁰ =

Sin 75⁰ = sin(45⁰ + 30⁰)= sin45⁰cos30⁰ + cos45⁰sin30⁰=

Закончите вычисления с помощью вышерассмотренных формул:

а) сos105⁰= cos(60⁰ +45⁰) =

б)sin15⁰ = sin(45⁰ – 30⁰) =

Пример №2.

Дано sinα = 0,6, sinβ = 0,8, π/2απ, π/2βπ. Найти sin(α+β)

Решение: sin(α+β) = sinαcosβ+sinβcosα

Так как по условию задачи углы α и β принадлежат второй четверти, то cosα и cosβ имеют знак «минус». Используем формулs cos²α = 1-sin²α;

cos²β = 1-sin²β

cos²α = 1-0,6²= 1-0,36 = 0,64

cosα = - = -0,8

cos²β = 1-0,8²= 1-0,64 = 0,36

cosα = - = -0,6

Подставим полученные данные и имеющиеся в условии данные в формулу sin(α+β) = sinαcosβ+sinβcosα и выполним действия

sin(α+β) = 0,6·(-0,8)+0,8·(-0,6) = -0,48-0,48=-0,96

Используя решение примера №2 в качестве образца, вычислите cos(α + β), если sinα = 0,6, sinβ = 0,8, π/2απ, π/2βπ

Пример №3.

Найдите значение выражения cos76⁰cos16⁰ + sin76⁰sin16⁰

Решение: cos76⁰cos16⁰ + sin76⁰sin16⁰ здесь развернутая формула косинуса разности двух углов. Вспомним, что , значит: cos76⁰cos16⁰ + sin76⁰sin16⁰ = cos(76⁰ – 16⁰) = cos60⁰ = 0,5

Вычислите самостоятельно:

а)sin58⁰cos13⁰ + cos58⁰sin13⁰

б)cos16⁰cos14⁰ – sin16⁰sin14⁰

Пример №4

Упростить выражение: cos(α + β) + cos(α - β)

Решение: воспользовавшись формулами косинуса суммы косинуса разности, получим: cos(α + β) + cos(α - β) = cosαcosβ – sinαsinβ + cosαcosβ + sinαsinβ = 2 cosαcosβ

Упростите самостоятельно:

а) cos(α + β) – cosαcosβ; б) sinα cosβ – sin(α - β)

Итоги урока: Повторить формулы, правила, алгоритм применения формул. Оценить работу на уроке. Дать рекомендации по выполнению домашнего задания.

Самостоятельная подготовка Составить справочный материал по формулам сложения.

Выполнить задание по карточкам:

1. Упростите выражение:

2. Упростите выражение:

3. Вычислите , если

5. Докажите тождество:

6. Сократите дробь:

7. Сократите дробь: