"Сфера, вписанная в коническую поверхность."

Сфера, вписанная в коническую поверхность

Сфера

Сферой называется поверхность,

состоящая из всех точек пространства,

расположенных на данном расстоянии

от данной точки.

Данная точка называется центром сферы O , а данное расстояние – радиусом сферы R .

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр называется, диаметром сферы .

Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность

Говорят что сфера вписана в

цилиндрическую поверхность , если

она касается всех ее образующих.

Докажем, что существует сфера,

касающаяся плоскости и

цилиндрической поверхности.

Проведем из точки О перпендикуляр ОН к плоскости α и обозначим буквой А точку пересечения луча ОН и сферы S . Если точка А и Н совпадают, то проведем через точку А прямую, параллельную образующим, и обозначим буквой В точку ее пересечения с плоскостью α . При параллельном переносе векторов АВ сфера S переходит в сферу S ’ радиуса r c центром О ’ , лежащим на прямой ОО 1 . Поэтому эта сфера касается цилиндрической поверхности. Расстояние от О ’ до плоскости α равно О ’ В = ОА, т.е. равно радиусу r . Следовательно, сфера S’ касается плоскости α , т.е. является искомой.

Сфера, вписанная в коническую поверхность

Говорят, что сфера вписана в коническую поверхность , если она касается всех ее образующих.

Множество всех общих точек сферы и конической поверхности представляет собой окружность, лежащую в плоскости, параллельной плоскости основания конуса.

Пусть РА – одна из образующих конуса. Рассмотрим какую-нибудь плоскость α , пересекающую образующую РА конической поверхности в точке В, лежащей на луче РА. Докажем, что существует сфера, касающаяся плоскости α и конической поверхности.

Проведем из точки О перпендикуляр ОН к плоскости α и обозначим буквой С точку пересечения луча ОН и сферы S. Если точки С и Н совпадают, то сфера S – искомая. Если точки С и Н не совпадают, проведем через точку С касательную плоскость β к сфере. Пусть PM и PN – перпендикуляры, проведенные из точки Р к плоскостям. При центральном подобии с центром Р и коэффициентом подобия PM/PN , плоскость β перейдет в плоскость α , а сфера S в искомую сферу

S´ , что и требовалось доказать.