![Сфера, вписанная в коническую поверхность](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2019/02/15/i_5c66674c20466/img_php0RbhYw_0.jpg)
Сфера, вписанная в коническую поверхность
![Сфера Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы O , а данное расстояние – радиусом сферы R . Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр называется, диаметром сферы .](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2019/02/15/i_5c66674c20466/img_php0RbhYw_1.jpg)
Сфера
Сферой называется поверхность,
состоящая из всех точек пространства,
расположенных на данном расстоянии
от данной точки.
Данная точка называется центром сферы O , а данное расстояние – радиусом сферы R .
Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр называется, диаметром сферы .
![Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность Говорят что сфера вписана в цилиндрическую поверхность , если она касается всех ее образующих. Докажем, что существует сфера, касающаяся плоскости и цилиндрической поверхности.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2019/02/15/i_5c66674c20466/img_php0RbhYw_2.jpg)
Сфера, вписанная в цилиндрическую поверхность
Говорят что сфера вписана в
цилиндрическую поверхность , если
она касается всех ее образующих.
Докажем, что существует сфера,
касающаяся плоскости и
цилиндрической поверхности.
![Проведем из точки О перпендикуляр ОН к плоскости α и обозначим буквой А точку пересечения луча ОН и сферы S . Если точка А и Н совпадают, то проведем через точку А прямую, параллельную образующим, и обозначим буквой В точку ее пересечения с плоскостью α . При параллельном переносе векторов АВ сфера S переходит в сферу S ’ радиуса r c центром О ’ , лежащим на прямой ОО 1 . Поэтому эта сфера касается цилиндрической поверхности. Расстояние от О ’ до плоскости α равно О ’ В = ОА, т.е. равно радиусу r . Следовательно, сфера S’ касается плоскости α , т.е. является искомой.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2019/02/15/i_5c66674c20466/img_php0RbhYw_3.jpg)
Проведем из точки О перпендикуляр ОН к плоскости α и обозначим буквой А точку пересечения луча ОН и сферы S . Если точка А и Н совпадают, то проведем через точку А прямую, параллельную образующим, и обозначим буквой В точку ее пересечения с плоскостью α . При параллельном переносе векторов АВ сфера S переходит в сферу S ’ радиуса r c центром О ’ , лежащим на прямой ОО 1 . Поэтому эта сфера касается цилиндрической поверхности. Расстояние от О ’ до плоскости α равно О ’ В = ОА, т.е. равно радиусу r . Следовательно, сфера S’ касается плоскости α , т.е. является искомой.
![Сфера, вписанная в коническую поверхность Говорят, что сфера вписана в коническую поверхность , если она касается всех ее образующих. Множество всех общих точек сферы и конической поверхности представляет собой окружность, лежащую в плоскости, параллельной плоскости основания конуса.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2019/02/15/i_5c66674c20466/img_php0RbhYw_4.jpg)
Сфера, вписанная в коническую поверхность
Говорят, что сфера вписана в коническую поверхность , если она касается всех ее образующих.
Множество всех общих точек сферы и конической поверхности представляет собой окружность, лежащую в плоскости, параллельной плоскости основания конуса.
![Пусть РА – одна из образующих конуса. Рассмотрим какую-нибудь плоскость α , пересекающую образующую РА конической поверхности в точке В, лежащей на луче РА. Докажем, что существует сфера, касающаяся плоскости α и конической поверхности. Проведем из точки О перпендикуляр ОН к плоскости α и обозначим буквой С точку пересечения луча ОН и сферы S. Если точки С и Н совпадают, то сфера S – искомая. Если точки С и Н не совпадают, проведем через точку С касательную плоскость β к сфере. Пусть PM и PN – перпендикуляры, проведенные из точки Р к плоскостям. При центральном подобии с центром Р и коэффициентом подобия PM/PN , плоскость β перейдет в плоскость α , а сфера S в искомую сферу S´ , что и требовалось доказать.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2019/02/15/i_5c66674c20466/img_php0RbhYw_5.jpg)
Пусть РА – одна из образующих конуса. Рассмотрим какую-нибудь плоскость α , пересекающую образующую РА конической поверхности в точке В, лежащей на луче РА. Докажем, что существует сфера, касающаяся плоскости α и конической поверхности.
Проведем из точки О перпендикуляр ОН к плоскости α и обозначим буквой С точку пересечения луча ОН и сферы S. Если точки С и Н совпадают, то сфера S – искомая. Если точки С и Н не совпадают, проведем через точку С касательную плоскость β к сфере. Пусть PM и PN – перпендикуляры, проведенные из точки Р к плоскостям. При центральном подобии с центром Р и коэффициентом подобия PM/PN , плоскость β перейдет в плоскость α , а сфера S в искомую сферу
S´ , что и требовалось доказать.