"Решение тригонометрических уравнений"

Цель: закрепление навыка решения тригонометрических уравнений.

Работа учащихся состоит из нескольких этапов. Чтобы получить оценку “3”, необходимо пройти 4 этапа, чтобы получить оценку “4” - 5 этапов, чтобы получить оценку “5” - 6 этапов. На каждом этапе ученик встретится с указаниями учителя о том, что нужно знать и уметь, или краткими пояснениями к выполнению заданий.

Прочитав указания учителя, ученик выполняет самостоятельные работы данного этапа, проверяет ответы, сверяя с ответами, которые предоставляет учитель. Если допущены ошибки, то ученик их исправляет и решает задания другого варианта, аналогичные тем, где он допустил ошибки. После этого можно переходить к следующему этапу.

1 этап.

Задача: закрепить решение простейших тригонометрических уравнений.

Указания учителя.

Вспомните основные правила решения тригонометрических уравнений.

 Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

2 этап.

Задача: закрепить умения решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.

Указания учителя.

Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sin x или cos x) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.

Пример. 4 – cos² x = 4 sin x

Так как cos² x = 1 – sin² x, то

4 – (1 – sin² x) = 4 sin x,

3 + sin² x = 4 sin x,

sin² x - 4 sin x + 3 = 0,

Пусть y = sin x, получим уравнение

y ² - 4 y +3 = 0

у₁=1; у₂=3.

sin x =1 или sin x = 3,

x = /2 + 2 n, n= Z, решений нет.

Ответ: x = /2 + 2 n, n= Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

3 этап.

Задача: закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Указания учителя.

Под разложением на множители понимается представление данного выражения в виде произведения нескольких множителей. Если в одной части уравнения стоит несколько множителей, а в другой – 0, то каждый множитель приравнивается к нулю. Таким образом, данный множитель можно представить в виде совокупности более простых уравнений.

Пример. 2 sin³ x - cos 2x - sin x = 0

Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos² x - sin² x.

(2sin³ x - sin x) – (cos² x - sin x) = 0,

Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, а cos² x = 1 - sin x.

sin x (2sin² x – 1) – (1 - 2 sin² x) = 0,

sin x (2sin² x – 1) + (2 sin² x - 1) = 0,

(2 sin² x - 1) • ( sin x + 1) = 0.

Ответ: x₁ = ± /4 + n, n = Z, x₂ = - /2 +2 k, k = Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

4 этап.

Задача: закрепить навык решения однородных уравнений

Указания учителя.

Однородными называются уравнения вида a sin x + b cos x = 0,

a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0, и т.д., где a, b, c – числа.

Пример 1. 5 sin x - 2 cos x = 0

Поделим обе части уравнения cos x (или на sin x). Предварительно докажем,

что cos x 0 (или sin x 0). (Пусть cos x = 0, тогда 5 sin x - 2 • 0 = 0, т.е. sin x = 0; но этого не может быть, так как sin² x + cos² x = 1).

Значит, можно делить на cos x:

5 sin x /cos x - 2 cos x / cos x = 0 / cos x. Получим уравнение

5 tg x – 2 = 0

tg x = 2/5,

x = arctg 2/5 + n, n = Z.

Ответ: x = arctg 2/5 + n, n = Z.

Аналогично решаются однородные уравнения вида a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0, их решение начинается с того, что обе части уравнения делятся на cos² x (или на sin² x).

Пример 2. 12 sin² x + 3 sin 2x - 2 cos² x = 2.

Данное уравнение не является однородным, но его можно преобразовать в однородное, заменив 3 sin 2x на 6 sin x cos x и число 2 на 2sin² x + 2cos² x.

Приведя подобные члены, получим уравнение

10sin² x + 6sin x cos x - 4 cos² x = 0.

(Пусть cos x = 0, тогда 10sin² x = 0, чего не может быть, т.к. sin² x + cos² x = 1, значит, cos x 0).

Разделим обе части уравнения на cos² x.

10 tg² x +6 tg x - 4 = 0,

tg x = -1 или tg x = 2/5,

x = - /4 + n, n = Z, x = arctg 2/5 + k, k = Z.

Ответ: x₁ = - /4 + n, n = Z, x₂ = arctg 2/5 + k, k = Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Решите уравнения:

5 этап.

Указания учителя.

Вы прошли 4 этапа, теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений. Вспомните основные тригонометрические формулы.

Выполните письменно самостоятельную работу (20 минут)

Решите уравнения:

6 этап.

Указания учителя.

Молодцы! Вы прошли 5 этапов. Целью вашей дальнейшей работы является применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Выполните письменно самостоятельную работу

(Задания даются в одном варианте, т.к. их решают не все учащиеся. Время, отводимое на эту работу, определяется учителем (ситуацией на уроке)).

Решите уравнения:

1. sin 6x + cos 6x = 1 - sin 3x,

2. 29 - 36 sin² (x – 2) - 36 cos (x – 2) = 0,

3. 2sin x cos x + – 2 cos x - v3 sin x = 0,

4. sin 4x = 2 cos² x – 1,

5. sin x (sin x + cos x ) = 1,

6. 1/(1 + cos² x) + 1/(1 + sin² x) =16/11.

Подсказки:  

1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 6x, cos 6x.

2. Обозначьте x – 2 = y, решите уравнение, сведя его к квадратному с помощью формулы sin² y = 1 - cos² y.

3. Сгруппируйте первое и третье слагаемое, примените разложение на множители.

4. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 4x, cos 4x, формулой понижения степени 2cos² x – 1 = cos 2x.

5. Раскройте скобки, примените основное тригонометрическое тождество.

6. Приведите дроби к общему знаменателю, затем используйте основное тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = 1, сведите уравнение к квадратному.

Оцените свои работы самостоятельно.

Домашнее задание:

Если вы выполнили задания всех этапов, то дома № 163-165 – любое уравнение

Если вы выполнили задания 5 этапов, то дома задания 6 этапа.

Если вы выполнили задания 4 этапов, то дома задания 5 этапа, и т.д.