Решение прямоугольных треугольников

Задание В4

Решение прямоугольных треугольников

900igr.net

Часть 1

Теорема Пифагора

гипотенуза

катет

Прямоугольный треугольник

• Теорему Пифагора при - меняют для прямоугольных треугольников, то есть для треугольников у которых один угол равен 90 градусов.

Стороны прямоугольных треугольников имеют названия.

• Стороны, которые прилежат к прямому углу - КАТЕТЫ.
• Сторона, лежащая напротив прямого угла - ГИПОТЕНУЗА

A

90 °

B

С

катет

гипотенуза

катет

катет

гипотенуза

Найдите катеты и гипотенузу в данных треугольниках

В

D

K

C

Т

С

катет

катет

P

CH- катет

С B – катет

НВ - гипотенуза

C

F

СР – катет

С F – катет

PF - гипотенуза

B

C

H

катет

гипотенуза

Теорема Пифагора

A

AC 2 + CB 2

AB 2 =

АС - катет

ВС - катет

c

АВ -гипотенуза

B

катет

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Применение Теоремы Пифагора. Найти гипотенузу по двум катетам

АС 2 + С B 2 = A В 2

?

3

А

К 2 + К 2 = Г 2

3 2 + 4 2 = Г 2

?

4

3

9 + 16 = Г 2

25 = Г 2

В

С

4

Г=

АВ =5

Применение Теоремы Пифагора. Найти катет по гипотенузе и другому катету

ВС 2 = АВ 2 - АС 2

А

Г 2 – К 2 = К 2

10 2 – 8 2 = К 2

10

8

100 – 64 = К 2

36 = К 2

К =

В

С

?

СВ = 6

Применение Теоремы Пифагора

• К 2 + К 2 = Г 2

1 2 + 1 2 = Г 2

1 + 1 = Г 2

2 = Г 2

Г =

• Г 2 – К 2 =К 2

( ) 2 – 2 2 = К 2

8 – 4 = К 2

4 = К 2

К = 2

А

АВ =

?

1

В

С

1

А

СВ = 2

2

?

С

В

Упражнения

4

5

?

?

1

3

2

?

13

2

12

√ 6

5

√ 10

?

Часть 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА

ТАНГЕНСА ОСТРОГО УГЛА

В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

• Синус, косинус, тангенс – это дроби, которые описывают величину угла. В числителе и в знаменателе такой дроби стоит длина одной из сторон.
• Как разобраться длину, какой стороны надо поставить в числитель или в знаменатель?

Определение косинуса

• Просто косинуса не бывает!!!! Косинус описывает величину какого-то угла. Итак, надо, например, найти cos А (т.е. косинус угла А).

• Найдем этот угол в треугольнике. Обведем «пожирнее» его стороны.

В

С

А

Гипотенуза

Определим cos A

• Косинус этого угла – это отношение тех сторон, которые обвели.
• Это дробь в числитель, которой записана меньшая (из обведенных сторон) , а в знаменатель большая.
• Большая сторона треугольни- ка - это гипотенуза( сторона, которая лежит напротив прямого угла)

В

AC

cos A =

AB

А

С

Прилежащий катет

Гипотенуза

Определим cos В.

• Повторяем предыдущий алгоритм. Нашли

угол В, обвели его стороны.

• Записали дробь в числителе, которая меньшая из обведенных сторон, а в знаменателе большая

B

прилежащий катет

ВС

cos B =

АВ

A

C

Определение синуса

• Определим sin A . Обведем стороны угла А.
• Синус этого угла - это дробь в числителе, которой та сторона, которую не обвели, а в знаменателе большая из обведенных.

B

Противолежащий катет

Гипотенуза

BC

sin A =

AB

A

C

Определим sin В.

• Повторяем предыдущий алгоритм. Нашли

угол В, обвели его стороны.

• Записали дробь в числителе, сторона, которую не обвели, а в знаменателе большая из обведенных.

B

Гипотенуза

AC

sin B =

АВ

A

C

Противолежещий катет

Определение тангенса

• Определим tg A . Обведем стороны угла А.
• Тангенс этого угла - это дробь в числителе, которой та сторона, которую не обвели, а в знаменателе меньшая из обведенных.

B

Противолежащий катет

BC

tg A =

AC

A

C

Прилежащий катет

Прилежащий катет

Определим tg В.

• Обведем стороны угла В.
• Тангенс этого угла - это дробь в числителе, которой та сторона, которую не обвели, а в знаменателе меньшая из обведенных

B

AC

tg B =

BC

C

A

Противолежещий катет

Найдите sin, cos, tg выделенного угла

T

A

D

M

C

M

A

D

M

Найдите sin, cos, tg выделенного угла

C

A

D

C

M

N

Н a йдите sin, cos, tg выделенного угла

T

P

А

H

T

P

A

H

Н a йдите sin, cos, tg выделенного угла

H

A

B

cos B = BH / BK

sin B = HK/ BK

tg B = HK/ BH

K

cos B = BH / BT

sin B = HT/ BT

tg B = HT/ BH

T

A

H

B

высота

Два прямоугольных треугольника с общим острым углом

• Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором проведена высота к гипотенузе.
• Угол D общий для ∆А DC и ∆ DCH
• Синус, косинус и тангенс угла А можно выразить через стороны одного и через стороны другого треугольника

D

D

sin D=CH/ CD

cos D= DH / CD

tg D=CH/ DH

sin D= AC/ AD

cos D= DC / AD

tg D=CA/ DH

H

H

A

C

A

C

Найдите sin, cos, tg выделенного угла

R

cos R = RC / BR

sin R = BC/ BR

tg R = BC/ RC

H

C

B

R

H

cos R = RH / CR

sin R = HC/ CR

tg R = HC/ RH

C

B

Часть 3

I и II тип задач

I тип: найти sin (cos, tg) по двум данным сторонам

Как решать:

• Выразить sin (cos, tg) через стороны треугольника по определению
• Подставить те стороны, которые даны в задаче
• При необходимости найти недостающую сторону по теореме Пифагора

Пример

• Выразим sin A через стороны треугольника

sin A = BC/AB

• AB=25, надо найти ВС,
• По теореме Пифагора.

• sin A = 20 /25=4/5=0,8

AC=15

AB=25

В

sin A = ?

25

15

А

С

Упражнения

A

A

sin B = ?

g A = ?

tg

20

25

20

0,75

0,8

С

B

B

C

12

,7

B

tg A = ?

cos A = ?

B

5

3

10

0,75

0,8

A

A

C

C

8

II тип: найти сторону треугольника по данному sin (cos, tg) и стороне

Как решать:

• Выразить sin (cos, tg) через стороны треугольника по определению
• Подставить ту сторону, которая дана
• Приравнять к данному значению sin (cos,tg)
• Решить пропорцию.
• При необходимости найти недостающую сторону по теореме Пифагора

Пример

• Выразим cosB через стороны треугольника

cosB = CB/AB

• BC /13=5/13,

значит ВС=5

• надо найти A С,

по теореме Пифагора

ВС=12

cos B=5 /13

В

AB =13

AC = ?

13

?

А

С

Упражнения

cos A = 0,5

cos B = 4/5

B

B

?

8

15

25

С

A

С

A

4

?

B

cos A =5/13

cos B = 0,8

B

39

21

?

35

36

С

A

A

С

?

Часть 4

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 A + cos 2 A = 1

• Эта формула позволяет по данному значению синуса острого угла прямоугольного треугольника найти значение косинуса и наоборот
• sin A = √ 1 – cos 2 A
• cos A = √1 – sin 2 A

Применение основного тригонометрического тождества

sin A = 3/5

cos A = ?

cos A = √1 – (3/5) 2

cos A = √1 - 9/25

cos A = √25/25 - 9/25

cos A = √16/25

cos A =4/5

cos A = √13/ 7

sin A = ?

sin A = √1 – (√13/7) 2

sin A = √1- 13/49

sin A = √49/49 -13/49

sin A = √36/49

sin A = 6/7

Упражнения

cos A = 0,6

sin A = ?

sin A = 0,8

cos A = ?

0 ,6

sin A = 12/13

cos A = ?

cos A = √7/10

sin A = ?

5/13

√ 93/10

0,8

sin A = 3/√34

cos A = ?

cos A=√91/10

sin A = ?

sin A = 5/√41

cos A = ?

cos A =5/13

sin A = ?

5/√34

12/13

0,3

4/√41

Часть 5

III тип задач

III тип: найти сторону треугольника по данному sin (cos) и стороне

Как решать:

• Выразить sin (cos) через стороны треугольника
• Подставить ту сторону, которая дана , но такой стороны нет (в этом отличие от второго типа)
• По данному значению sin (cos) найти cos (sin)
• Выразить найденный cos (sin) через стороны
• Подставить ту сторону, которая дана в условии
• Приравнять к найденному значению
• Решить пропорцию.
• При необходимости найти недостающую сторону по теореме Пифагора

Пример

• Выразить sin через

стороны треугольника

• Подставить ту сторону,

которая дана , но такой

стороны нет

• По данному значению

sinA найти cosA

• Выразить найденный

cos через стороны

• Подставить ту сторону,

которая дана в условии

• Приравнять к найден-

ному значению cos

• Решить пропорцию:

sin A = BC/AB

B

sin A = 3/5

cos A =

√ 1 – (3/5) 2 = 4/5

?

cos A = AC/AB

4

cos A = 4 /AB

A

С

4/5 = 4 /AB

АВ = 5

Упражнение

• sin B = AC/AB
• cos B = √1 – (11/14) 2

cos B = √1 – 121/196

cos B = √75/14= 5√3/14

• cos B = CB/AB

cos B = 10√3 /AB

• AB = 28

А

sin B =11/14

?

В

10 √3

С

Проверь себя

В

В

sin A = 0,9

sin A = 3/5

?

?

А

С

12

С

А

√ 19

ВС = 9

Ответ:

Ответ:

АВ = 10

Проверь себя

В

В

cos A = 14/15

cos A = 0,4

?

?

С

А

А

С

AB = 5

Ответ:

Ответ:

АВ = 3 0

Часть 6

Свойства равнобедренного треугольника

Боковая сторона

Боковая сторона

Равнобедренный треугольник

• Равнобедренный треуголь-ник - это треугольник, у которого две стороны равны.
• Эти стороны называются боковыми. Третья сторона называется основание.

В равнобедренном треугольнике

• Углы при основании равны.

С

А

основание

В

Упражнения

• Укажите в равнобедренных треугольниках основание и равные углы
• Важно помнить: основание не обязательно располагается горизонтально.

B

C

A

C

C

B

A

B

A

BC - основание

CA - основание

AB – основание

Медиана, высота и биссектриса треугольника

• Высота треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника и точку противоположной стороны и является перпендикуляром к ней.
• Медиана треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны.
• Биссектриса треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника и точку противоположной стороны и лежит на биссектрисе угла, т. е. на луче который делит данный угол пополам.

A

В

С

D

K

H

С D - медиана

AK - биссектриса

BH - высота

Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике

• Высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
• Медиана, проведенная

к основанию, является высотой и биссектрисой

• Биссектриса, проведенная к основанию, является высотой и медианой

C

AC = CB

B

А

H

AH - высота,

биссектриса,

медиана.

Часть 7

Равнобедренный треугольник , в котором проведена высота

Равнобедренный треугольник, в котором проведена высота к основанию

• Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, разбивает его на два равных треугольника.
• При решении задач вместо данного равнобедренного треугольника можно рассматривать его половину – прямоугольный треугольник.
• Фактически решение задачи сводится к решению прямоугольного треугольника (смотри I, II, III тип задач)

C

C

C

H

H

D

A

A

D

H

Пример . Задача, сводимая к задаче I типа

• Рассмотрим ∆ BAH. Это прямоугольный треугольник, в котором даны две стороны и надо найти косинус угла. Это задача I типа.
• Выразим косинус угла через стороны. Подставим данные значения.

Очевидно , надо найти AH.

• По теореме Пифагора найдем:

AH = 1

B

AB = BC

AB = 5

BH =2 √6

cosA = ?

5

2√6

C

А

H

B

cosA = AH/AC

cosA = AH/ 5

5

2 √6

cosA = 1/5 =0,2

H

A

Пример . Задача, сводимая к задаче II типа

• AH = HB = 16 CH – высота, значит и медиана.
• Рассмотрим ∆ CAH. Это прямоугольный треугольник, в котором дана сторона и косинус угла надо найти сторону. Это задача II типа.
• Найдем АС
• По теореме Пифагора найдем С H :

С

AC = BC

AB = 32

cosA = 4/5

CH =?

?

В

А

H

C

cosA = 4/5

cosA = AH/AC

AH/AC = 4/5

16/AC = 4/5

AC = 20

?

H

A

16

Решить задачи

• В треугольнике АВС

АС=ВС , АВ=24 , cos А =

Найдите высоту С H

• В треугольнике АВС

АС=ВС= 8, sin B=

Найдите АВ

• В треугольнике АВС

АС=ВС , АВ= 2, sin A=

Найдите А C .

• В треугольнике АВС

АС=ВС=4 АВ=6

Найдите cos А.

• В треугольнике АВС

АС=ВС= АВ= 10

Найдите tg А.

• В треугольнике АВС

АС=ВС= 15 АВ= 18

Найдите sin А.

Проверь себя

C

С

AC=

CH= 15

4

cos A = ¾=0,75

?

12

3

B

A

В

А

H

H

C

С

CH =

HB = 6

AB = 12

CH = 6

tg A = 6/5 = 1,2

8

5

B

A

В

А

H

H

C

С

CH = 12

sin A=12/15= 0,75

cos A = ¼

AC = 4

15

?

9

1

A

B

В

А

H

Равнобедренный треугольник, в котором высота проведена к боковой стороне

• Высота, проведенная к боковой стороне треугольник, в общем случае, не является медианой и биссектрисой.
• Но! Эта высота разбивает данный треугольник на два прямоугольных.
• Каждый из получившихся прямоугольных треугольников можно рассматривать отдельно . ( I, II, III тип задач )
• Важно помнить, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны , Поэтому вместо синуса одного из углов при основании можно рассматривать синус другого угла при основании. Это замечание верно для cos, и tg .

A

A

A

C

H

H

C

H

H

C

B

H

C

B

C

B

Пример

С

• В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=6 cosA=3/5 , АН –высота Найдите ВН.
• Очевидно, что

Значит cosA = cosB = 3/5

• Данная задача сводится к задаче II типа: найти сторону прямоугольного треугольника

по известному косинусу и стороне

Н

?

Н

?

А

6

В

А

В

6

А

6

В

BH = 3,6

Н

?

Упражнения

С

• В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=20, высота АН=5. Найдите sinA
• В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=2 5 , высота АН= 1 5. Найдите cosA
• В треугольнике АВС А B =ВС, А C = 16 , высота C Н= 4 . Найдите синус угла АСВ

1задача

sinA= sinB= AH/AB

sin A=5/20= 0,25

2 задача

cosA=cosB=HB/AB

HB= 20 ( т.Пифагора)

cos A=20/25=0,8

Н

А

В

B

3 задача

sin ACB=sin A=

=CH/AC=4/16=0,25

H

C

A

Тупоугольный равнобедренный треугольник, в котором высота проведена к боковой стороне

• Сумма углов треугольника 180 ° . Поэтому в равнобедренном треугольнике тупым углом может быть только угол, образованный боковыми сторонами.
• Высота, опущенная из вершины основания образует прямой угол с продолжением боковой стороны . Она лежит вне треугольника
• На чертеже два прямоугольных треугольника. Прямой угол у них общий. Один треугольник лежит внутри другого. Эти треугольники можно рассматривать отдельно ( I, II, III тип задач )

B

B

B

C

H

A

H

H

C

A

Пример

С

• В тупоугольном треугольнике АВС АВ = ВС, АС=5,

sin C=0,6 CH – высота. Найдите АН.

• Угол АСВ равен углу А, значит sin ACB= sin A
• Задача сводится к решению прямоугольного АСН ( II тип)
• sin A = CH/AC

CH/5=0,6=3/5 CH=3

по теореме Пифагора АН=4

5

В

H

A

С

5

H

A

?

Упражнения

В тупоугольном треугольнике АВС

АВ=ВС, АС=25,

СН - высота, АН = 24 Найдите синус угла АСВ

В тупоугольном

треугольнике АВС

АВ=ВС, АС=2,

СН - высота, АН = √3

Найдите синус угла АСВ

0,5

0,28

Часть 8

Применение формул приведения при решении прямоугольного треугольника

Использование формул приведения при решении прямоугольного треугольника

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90 ° . Значит, синус одного равен косинусу другого и тангенс одного равен котангенсу другого
• Внешним углом треугольника называется угол смежный с одним из внутренних углов. При каждой вершине образуется два внешних угла
• Сумма смежных углов равна 180 ° . Значит, синус внутреннего угла и внешнего угла равны, а косинусы и тангенсы отличаются знаком

α + β = 180 °

sin α = sin β

B

α + β = 90°

sin α = cos β

sin β = cos α

В

cos α = - cos β

tg α = - tg β

β

tg α =ctg β

tg β =ctg α

β

α

α

C

A

С

А

Пример использование формул приведения

В

• В треугольнике АВС угол С равен 90 ° , cos B =4/5 . Найдите косинус внешнего угла при вершине А

• В треугольнике АВС АС=ВС=25, АВ=30. Найдите синус внешнего угла при вершине В
• Проведем высоту СН. НВ=15

По теореме Пифагора СН=20

cosB=sinA=4/5

Используя основное

тригонометрическое тождество

cos A= 3/5

С

A

- 3/5 = - 0,6

С

sin B =20 /25=4/5

25

Н

15

В

А

4/5=0,8

Упражнения

• В ∆ АВС угол С=90 ° ,

cos В= 0,8. Найти sin A

• В ∆ АВС угол С=90 ° .

cos В= 0,8. Найти cos A

• В треугольнике АВС

угол С=90 ° . cos B =

Найти косинус внешнего

угла при вершине А

В

0,8

0,6

А

С

В

- 0,5

С

А

Упражнения

• В треугольнике АВС угол С=90 ° . АВ= ВС=6. Найти тангенс внешнего угла при вершине А
• В треугольнике АВС угол С=90 ° . AB =5. Косинус внеш-него угла при вершине В равен -0,6. Найти АС

B

6

- 0,6

С

A

A

5

4

С

B

Упражнения

С

• В ∆АВС АС=ВС=10,

АВ= Найти

синус внешнего угла при вершине В.

• В ∆АВС угол С равен 90 ° , АВ= , ВС=8. Найдите тангенс внешнего угла при вершине А

10

0,7

Н

В

А

B

- 2

8

С

A

Обобщение и систематизация изученного материала

I тип задач

Теорема Пифагора

II тип задач

III тип задач

Равнобедренный

треугольник

Прямоугольный

треугольник

Найти sin (cos, tg)

Найти прямоугольный треугольник.

Провести высоту при необходимости

Найти сторону

Дан sin

(cos, tg)

Высота к боко-

вой стороне

Высота к основанию

Дана одна из сто -

рон и cos (sin, tg)

Даны 2

стороны

Делит основание пополам

I, II, III

тип задач

Формулы

Приведения

тупой

tg α =sin α /cos α

α = β

cos 2 α +sin 2 α =1