Разработка урока по геометрии в 9 классе «Длина окружности»

Разработка урока по геометрии в 9 классе «Длина окружности»

Учитель математики «Средней общеобразовательной школы №20 им.А.А.Хмелевского» г. Курска Кораблина Ольга Александровна

Цели:

Образовательные: ввести формулу длины окружности путем поисковой, исследовательской деятельности, показать перспективы ее использования при решении задач практического содержания, использовать материалы из истории развития числа π.

Развивающие: развитие памяти, логического мышления, любознательности; развитие умений искать ответы на возникающие вопросы.

Воспитательные: воспитание целеустремленности, самостоятельности учащихся, стремления к получению знаний и применению их в нестандартных ситуациях.

Требования к знаниям, умениям и способам деятельности: овладеть понятиями и умениями, связанными с длиной окружности; уметь использовать формулу при решении задач практического содержания.

Тип урока: урок сообщения и усвоения новых знаний.

Формы работы: фронтальная.

Методы: исследовательские, словесные, наглядные.

Оборудование: линейка, циркуль, медиапроектор, экран, компьютер, доска, мел.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Создание проблемной ситуации.

3. Актуализация знаний.

4. Изучение нового материала.

5. История возникновения числа .

6. Гимнастика для глаз.

7. Закрепление нового материала.

8. Домашнее задание.

9. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Ход урока

1. Организационный момент

Учитель: Здравствуйте, ребята! Тема нашего сегодняшнего занятия “Длина окружности». (Ученики записывают тему) Сегодня на уроке мы введем формулу длины окружности, а также научимся использовать ее при решении задач.

2. Актуализация знаний учащихся (повторение теоретического материала):

Прежде чем переходить к изучению нового материала, давайте в рамках подготовки к ГИА вспомним необходимый теоретический материал.

- Укажите номера верных утверждений (решение задания №13 ГИА) Слайд2

Вариант 1.

1. Многоугольник является правильным, если все его углы равны. (-).

2. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной. (+)

1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается каждой стороны многоугольника в его середине. (+).

2. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.(+)

3. Около любого ромба можно описать окружность. (-)

Ответ: 234

Вариант 2.

1. Любой четырехугольник с равными сторонами является правильным. (-)

2. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну. (+)

3. Окружность, касающаяся всех сторон многоугольника, называется вписанной. (+)

4. В любой прямоугольник можно вписать окружность. (-)

5. Геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называется кругом. (-)

Ответ: 23

3.Создание проблемной ситуации

- В детской математической энциклопедии рассказывается знаменитая легенда о царевне Дидоне, которая, спасаясь от своего брата Тирана, доплыла до Африки, где и захотела купить небольшой участок земли. Нумидийский царь согласился продать ей землю, но за огромные деньги и такой крохотный клочок, который она смогла бы окружить ремнём одной бычьей шкуры. Царевна блестяще справилась с этой задачей, которую в её честь стали называть задачей Дидоны. Что она сделала?

- Оказывается она разрезала бычью шкуру так, что получился тонкий кожаный ремень, которым она окружила большой кусок земли. Окружность какого диаметра можно опоясать этим ремешком, если он имеет длину 100м?

- Эту задачу мы решали ещё в 6 классе. И вернёмся к ней позже. А цель нашего сегодняшнего урока - вывести формулу, выражающую длину окружности через ее радиус и закрепить знание формулы при решении задач.

4. Изучение нового материала

- Как же можно измерить длину окружности, не применяя известную формулу длину окружности?

Возможные варианты ответа: 1) С помощью нити.

2) вписать многоугольник с большим числом сторон в данную окружность и измерить её периметр.

- Можем сделать вывод: периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближённым значением длины окружности. Это приближённое значение длины окружности при увеличении числа сторон многоугольника практически равно периметру многоугольника. Слайд 3

- Точное значение длины окружности это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон.

- Выведем формулу длины окружности. Пусть имеются две окружности с радиусами R₁ и R₂, а их длины пусть равны С₁ и С₂ соответственно. Впишем в каждую из них n-угольники и найдём отношения их периметров P₁ и P₂. Как найти периметр правильного n-угольника?

P₁=n∙a₁, P₂= n∙a₂, где a₁ и a₂ – стороны наших n-угольников.

- Используя формулу a_n=2Rsin , имеем a₁=2R₁ sin , a₂ =2 R₂sin , поэтому

P₁=n∙a₁ =2nR₁ sin , P₂= n∙a₂ =2nR₂sin , отсюда = = , что такое D₁ и D₂ ? (диаметры окружностей) Слайд 4

По свойству пропорции , т.к. = , то справедливо равенство .

Ранее было установлено, что при n P₁ С₁, P₂ С₂, поэтому , т.е. отношение длины окружности к её диаметру есть число постоянное. Это число обозначают греческой буквой . Итак, или C= D =2 . Слайд 5

5.История возникновения числа .

Еще в древности людям были известны многие геометрические фигуры, в том числе окружность и круг. Об этом свидетельствуют археологические раскопки. Еще тогда приходилось решать задачи на вычисление длины окружности. Сейчас известно, что значением числа π в разные времена считали различные числа. Так, в Древнем Египте (ок. 3500 лет назад) считали π = 3,16; древние римляне полагали, что π = 3,12. Все эти значения были определены опытным путем. Великий ученый Древней Греции Архимед определил, что значение π находится в следующих пределах: Слайд 6

С помощью современных электронно-вычислительных машин число π было вычислено с точностью до миллиона знаков после запятой. Для обозначения частного от деления длины окружности на диаметр впервые букву π использовал английский математик Джонс в 1706 г., но общепринятым это обозначение стало благодаря работам великого математика Эйлера. Он вычислил для числа π 153 десятичных знаков.

Для закрепления в памяти рационального выражения π – числа Архимеда

(π ) может оказаться полезной шутка из учебника Магницкого:

Двадцать две совы скучали

На больших сухих суках.

Двадцать две совы мечтали

О семи больших мышах,

О мышах довольно юрких

В аккуратных серых шкурках.

Слюнки капали с усов

У огромных серых сов. Слайд 7

Число π – это бесконечная десятичная дробь. Первые восемь цифр этого числа можно запомнить так: три, четырнадцать, пятнадцать, девяноста два и шесть (3,1415926).

В практических расчетах редко бывает нужно знать более трех-пяти цифр числа π. Если со временем вы их забудете, то задайте вопрос:

Слайд 8

14 марта- международный день числа π. Не пропустите - праздник начинается ровно в 1: 59 ночи.

Число π, несомненно, одна из наиболее универсальных и фундаментальных констант, известных Человечеству. В силу своей универсальности число π используется в вычислениях для микро- и для макрокосмоса и входит как и в формулы, описывающие движение комет, астероидов, космических кораблей и других небесных тел астрономии, так и в формулы для вычислений электронных орбит в квантовой физике и квантовой химии. Слайд 9

- Давайте вернёмся к задаче Дидоны, итак, диаметр какой окружности можно опоясать этим ремешком, если он имеет длину 100м?

С= 100 м, D = C: π = 100:3,14 ≈ 31,83 м

1. Гимнастика для глаз

Рисуй глазами треугольник. Слайд10

Теперь его переверни вершиной вниз

И вновь глазами ты по периметру веди. Слайд11

Рисуй восьмерку вертикально.

Ты головою не крути,

А лишь глазами осторожно ты вдоль по линиям води. Слайд12

И на бочок ее клади.

Теперь следи горизонтально,

И в центре ты остановись.

Зажмурься крепко, не ленись.

Глаза открываем мы наконец,

Зарядка окончилась. Ты молодец! Слайд13

1. Закрепление нового материала.

Задача 1. Диаметр вала колодезного ворота равен 0,24 м . Чтобы вытянуть ведро со дна колодца, приходится делать 10 оборотов. Какова глубина колодца? Слайд14

Решение:

C = πD ≈ 3,14 ∙0,24 = 0,7536 м

H = 10∙0,7536 ≈ 7,5 м

Ответ: 7,5 м

Задача 2. Представьте, что вы обошли землю по экватору. На сколько при этом верхушка вашей головы прошла более длинный путь, чем ваши ноги? Слайд15

Решение:

• Какой путь прошли ноги, если R радиус земного шара? 2πR

• Какой путь прошла верхушка головы, если рост человека 1,7м ? 2π (R+1,7)

• Найдите разность путей. 2πR − 2π (R+1,7) = 2π ∙ 1,7 = 10,7 м.

• Итак, голова прошла путь на 10,7 м больше, чем ноги.

Задача 3. Если обтянуть земной шар по экватору обручем и затем удлинить его ровно на 1м, то сможет ли между этим обручем и землёй проскочить мышь? Слайд16

Решение:

Обычно отвечают, что промежуток будет тоньше волоса.

Пусть длина промежутка х см.

Если R радиус земли, то длина обруча была 2pRсм, а станет 2p (R + x)см.

А по условию задачи их разность равна 100 см.

Получим уравнение: 2π(R + x)− 2pR=100,

2px = 100,

x= ,

x ≈ 16

Ответ: 16 см, мышь может проскочить.

Вопрос: Изменится ли зазор, если не земной шар, а футбольный мяч (апельсин) сначала был обтянут плотно веревкой, а затем длину её увеличили на 1 м?

Заслушать ответы, можно провести эксперимент с мячом, веревкой и линейкой.

Ответ: не изменится.

Задача № 1104(г) Найдите длину окружности, описанной около прямоугольника с меньшей стороной a и острым углом α между диагоналями.

O

- Что нужно знать для вычисления длины

окружности? (Её радиус)

A D - Покажите радиус на чертеже. Почему диагонали

прямоугольника пересекаются в центре окружности, в которую вписан прямоугольник?

Ответ: Радиусы – ОС, OD, OA, OB. Углы прямоугольника прямые, поэтому они, с одной стороны, опираются на диагонали АС и BD, а с другой стороны на диаметры. Т.к. диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей. - В треугольнике OCD CD = a, OC = OD, угол COD= . Как можно найти ОС и OD?

Ответ: по теореме косинусов CD² = OC² + OD² - 2 ОС∙ OD∙cosα = если CD = a, OC = =OD= R, то a²=2R²−2R² cosα = R² = = R= .

• Какая формула используется для вычисления длины окружности? Чему он равна?

Ответ: С =2πR, С = = .

Задача 4 Вам всем известны пушкинские слова: Слайд17

У лукоморья дуб зелёный

Златая цепь на дубе том,

И днём и ночью кот ученый

Всё ходит по цепи кругом.

Какую линию описывает кот при своём движении? Выслушать предположения учащихся.

Возможные варианты ответа:

Рисунок 1

Замкнутая цепь наброшена на дуб так, что учёный кот при хождении по цепи описывает окружность, т.е. геометрическую фигуру. При этом он может ходить и налево, и направо.

Рисунок 2

Цепь незамкнутая, но наброшена на дуб так, что обвивает его по спирали сверху вниз. Спираль - геометрическая фигура. И в этом случае кот идёт то налево, то направо, как об этом говорит Пушкин.

Рисунок3

Если цепь незамкнута, на первый взгляд может показаться, что он при таком движении описывается окружность. Но это неверно. Ведь цепь всё время наматывается или сматывается с дуба так, что она натянута и образует касательные к окружности ствола. Её концы при этом описывает линию, которая называется эвольвентой окружности, а окружность при этом называется эволютой данной эвольвенты.

1. Домашнее задание П.110 № 1101, № 1104(а), № 1108 Слайд 18

2. Итоги урока. Рефлексия.

- Мы сегодня познакомились с замечательным открытием Архимеда, узнали много нового о числе π, вывели формулу длины окружности, а также научились использовать ее при решении задач.

Далее учитель аргументировано выставляет каждому ученику оценку и предлагает заполнить карточку самооценки деятельности учащегося на уроке.

Рефлексия.

Карточка самооценки деятельности учащегося на уроке

Учитель: На этом урок геометрии закончен, спасибо за сотрудничество. До свидания, ребята.

Используемая литература:

1. Атанасян Л.С. и др. Учебник «Геометрия 7-9»

2. Гаврилова Н.Ф. «Поурочные разработки по геометрии», 9 класс

3. Айвазян Д.Ф. «Поурочные планы по учебнику Н.Я.Виленкина и др.», 6 класс

4. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка»

5. Змушко С.»Длина окружности, площадь круга, шар», газ. «Математика» №2, 2001г

Интернет-ресурсы:

1. www.yandex.ru

2. festival.nic-snail.ru

3. nsportal.ru