Путешествие по страницам книги

ПУТЕШЕСТВИЕ

ПО СТРАНИЦАМ

КНИГИ

Учитель математики МБОО «Лицей № 2 г. Буинска РТ »Замалтдинова Л.Н

2

4

0

8

2

-2

16

6

0

-4

14

4

-2

12

2

10

Цели:

• Изучить последовательность чисел Фибоначчи
• Проследить связь с математическими понятиями
• Рассмотреть примеры применения «золотого сечения» в биологии, в музыке, геометрических задачах, литературе, живописи, астрономии и в поэзии

Леонардо Фибоначчи

Итальянский купец Леонардо из Пизы

( 1180-1240), более известный под прозвищем Фибоначчи был, безусловно, самым значительным математиком средневековья. Роль его книг в развитии математики и распространении в Европе математических знаний трудно переоценить. Жизнь и научная карьера Леонардо теснейшим образам связаны с развитием европейской культуры и науки.

История ряда Фибоначчи

Сам Фибоначчи упоминал эти числа

в связи с такой задачей:

” Человек посадил пару кроликов

в загон , окруженный со всех сторон

стеной .

Сколько пар кроликов за год может

произвести на свет эта пара ,

если известно , что каждый месяц ,

начиная со второго , каждая пара кроликов

производит на свет одну пару? ”

Решением этой задачи и будут

последовательности , называемые

теперь в его честь .

Числа Фибоначчи и их свойства

• Каждое следующее число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих
• Каждое третье число Фибоначчи четно ;
• Каждое четвертое кратно 3 ;
• Каждое пятнадцатое оканчивается нулем .
• Два соседних числа взаимно просты

1, 1, 2 , 3 , 5, 8 , 13, 21 , 34 , 55, 89, 144 , 233, 377, 610 , 987 , 1597, 2584 и т.д.

F n : F n – 1 1.618

Частное от деления последующего числа Фибоначчи на предыдущее, стремиться к 1,618.

1 : 1 = 1

2 : 1 = 2

3 : = 1,5

5 : 3 = 1, 67

8 : 5 = 1,6

13 : 8 = 1,625

21 : 13 = 1,615

34 : 21 = 1,619

55 : 34 = 1,618

89 : 55 = 1,618

144 : 89= 1,618

F n – 1 : F n 0.618

Отношение каждого числа к последующему при увеличении порядкового номера всё более и более стремится к 0.618.

1 : 1 = 1

1 : 2 = 0,5

2 : 3 = 0,67

3 : 5 = 0,2

5 : 8 = 0, 625

8 : 13 = 0,615

13 : 21 = 0,619

21 : 34 = 0,617

34 : 55 = 0,618

55 : 89 = 0,618

89 : 144 = 0,618

Числа Фибоначчи в растениях.

Лютик –

5 лепестков

Ирис –

3 лепестка

Златоцвет –

8 лепестков

Цикорий –

21 лепестков

Дельфиниум –

13 лепестков

Астра –

34 лепестка

Маргаритка –

55 лепестков

Ананас

(8 и 13)

Сосновая шишка

(5 и 8)

Морфология комара:

3 пары ног;

5 усиков на голове – антенн;

брюшко делится на 8 сегментов.

Числа Фибоначчи в строении человека

Числа Фибоначчи делят нашу жизнь на количество прожитых лет:

1 – ый год

Ребенок овладел ходьбой и осваивает ближайшее окружение ,познаёт мир руками.

2 год

Понимает речь и действует, пользуясь словесными указаниями , открытие себя .

3 года

Действует посредством слова, задает вопросы .

5 лет

Гармония психомоторики, памяти, воображения и чувства, которые уже позволяют ребенку охватить мир во всей его целостности .

8 лет

На передний план выходит чувство воображение.

13 лет

Начинает работать механизм таланта.

21 год

Механизм творчества приблизился к состоянию гармонии и делаются попытки выполнять талантливую работу.

34 год

Гармония мышления, чувств, воображения и психомоторики: рождается способность к гениальной работе .

55 лет

В этом возрасте, при условии сохраненной гармонии души и тела, человек готов стать творцом.

МЛАДЕНЧЕСТВО

ДЕТСТВО

ЮНОСТЬ

МОЛОДОСТЬ

ЗРЕЛОСТЬ

СТАРОСТЬ

Периодичность жизни человека

55

89

34

21

13

8

1

Эта закономерность прослеживается как закономерность цифр 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.

Числа Фибоначчи в музыке

Проявление золотого сечения в музыке

В качестве примера построения скрипки на основе закона

Золотого сечения возьмем скрипку работы Антонио Страдивари,

созданную им в 1700 году.

Числа Фибоначчи и золотой прямоугольник

Если мы проведём плавную линий через углы наших квадратов, то получим ни что иное, как спираль Фибоначчи, увеличение шага которой всегда равномерно.

Улитка

Ураган

Паутина

Облака циклонов

Волны в океане

Убегающей воды

в раковине умывальника

Галактика

Золотое сечение в картинах

Леонардо да Винчи использовал пропорции золотого сечения в своей всемирно известной картине «Джоконде».

Золотое сечение в картине И. И. Шишкина

"Сосновая роща"

На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

Связь стихосложения с законами математики

Законы стихосложения неразрывно связаны с математическими законами. Так, например, можно установить закономерную связь между многими стихотворениями А.С.Пушкина и числами Фибоначчи, с Золотым сечением. Стихотворный текст настолько совершенен, что в нём обязательно действуют математические законы. Примером могут служить такие стихотворения Пушкина, как «Сапожник», «Не дорого ценю я громкие слова...», «Вакхическая песня», роман «Евгений Онегин». Рассмотрим роман «Евгений Онегин» и проведем анализ, в котором прослеживаются математические законы.

Роман Пушкина «Евгений Онегин»

Начнем с величины стихотворения, то есть с количества строк в нем. Казалось бы, этот параметр стихотворения может меняться произвольно. Однако оказалось, что это не так. Например, проведенный Н. Васютинским анализ стихотворений А. С. Пушкина с этой точки зрения показал, что размеры стихов распределены весьма неравномерно; оказалось, что Пушкин явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи) . Представляет несомненный интерес анализ романа «Евгений Онегин», сделанный Н. Васютинским. Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения Онегина к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55! Ритм онегинской строфы несет глубокую смысловую нагрузку. Четыре формообразующих элемента строфы - это, как правило, и четыре содержательных элемента: тема развитие кульминация афористическая концовка. Онегинская строфа была настолько оригинальным и индивидуальным изобретением Пушкина, что после Пушкина почти никто из поэтов не рисковал прикасаться к его детищу.

Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне -строка «Бледнеть и гаснуть ... вот блаженство!» Эта строка делит восьмую главу на две части - в первой 477 строк, а во второй - 295 строк. Их отношение равно 1, 617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции!

«Пиковая дама»

Обратимся вновь к произведениям А.С.Пушкина. Рассмотрим композицию "Пиковой дамы". В этой повести кульминационным моментом является сцена в спальне графини, куда проник Германн в надежде узнать тайну трех карт, сцена, которая оканчивается смертью графини в повести 853 строки . Кульминационный момент повести - это смерть графини. Ему отвечает 535 -я строка. Эта строка расположена в повести почти точно в месте золотого сечения, т.к . 853:535=1,6 . Повесть "Пиковая дама" состоит из шести глав. Посмотрим, не проявляется ли в композиции глав золотая пропорция? В первой главе золотому сечению отвечает 68 строчка (всего в главе 110 строк). Но ведь это же узловая точка повествования, в ней переломный момент всей главы: откроет ли Сен - Жермен свою тайну графине! Вторая глава повести содержит 219 строк . Золотое сечение здесь приходится на 135 строку . Но ведь это кульминационный момент главы, Лиза увидела в окне стоящего на улице Германна! Отсюда начался для нее новый отсчет времени, начались события, определившие всю ее дальнейшую судьбу. А.С.Пушкин совершенно точно определил это место во второй главе: ведь 219:135 = 1,62 . Третья глава повести описывает усилия Германна попасть в дом старой графини, выведать у нее тайну трех карт. Это место начинает новый отсчет времени для Германна. Эта ситуация приходится на 131 строку третьей главы, а всего в ней 212 строк . Разделив 212 на 131, мы получим точно золотую пропорцию 1,618 ! В четвертой главе размером 113 строк золотая пропорция приходится на 70 строку . Это также переломный, трагический момент в жизни Лизы. В пятой главе описано посещение Германна похорон графини. 46 строка пятой главы разделила повествование на две части: первая - похороны графини и вторая - сон Германна. Эта 46 строка также отвечает золотой пропорции, ведь всего в этой главе 75 строк (75:46=1,63). В последней главе повести золотая пропорция приходится на 77 строчку , которая завершает описание первого дня игры Германна в карты и первого его выигрыша. Как видим, и в композиции последней главы повести присутствует золотая пропорция. Золотая пропорция присутствует и в композиции других произведений Пушкина. В рассказе "Станционный смотритель" 377 строк . Кульминационный момент рассказа - это известие о том, что дочь смотрителя уехала с гусаром. Этот момент отражен во фразе, которая является 214 строкой . Здесь почти точное соответствие золотой пропорции. В маленьком рассказе "Гробовщик" всего 229 строк . Со 139 строки начинается описание страшного сна гробовщика. И здесь переломный момент рассказа приходится почти точно на золотую пропорцию (229:1,618=141 строка). Совпадение кульминационных моментов в произведениях А.С.Пушкина с золотой пропорцией удивительно близкое, в пределах 1-3 строк.

В рассказе "Станционный смотритель" 377 строк.

Кульминационный момент рассказа - это известие о том, что дочь смотрителя уехала с гусаром.

Этот момент отражен во фразе, которая является 214 строкой. Здесь почти точное соответствие золотой пропорции.

В маленьком рассказе "Гробовщик" всего 229 строк. Со 139 строки начинается описание страшного сна гробовщика. И здесь переломный момент рассказа приходится почти точно на золотую пропорцию (229:1,618=141 строка).

Проявление Золотого сечения в архитектуре

Пирамида Хеопса

Длина грани, деленная на высоту,

приводит к соотношению φ = 0,618

Парфенон

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618.

Если произвести деление Парфенона по золотому сечению, то получим те или иные выступы фасада.

Храм Василия Блаженного

Пропорции Покровского собора на Красной площади в Москве определяются восемью числами Фибоначчи. Многие числа здесь повторяются в затейливых элементах храма многократно.

«Ни тридцать лет ни тридцать столетий не оказывают никакого влияния на ясность или на красоту геометрических тел» Кэррол Л. (Додгсон)

Раифский мужской монастырь – единственный в Татарии сохранившийся монастырский комплекс, построенный в XVII веке. Комплекс имеет форму пятиугольника.

На Земле, как и во всей Вселенной, дают о себе знать удивительный порядок и совершенная гармония. Зачастую их невозможно выразить словами и тогда приходится обращаться к языку математики (языку чисел). Вот почему так важно изучать и его. В природе действительно существует основной закон пропорции и коэффициент Фибоначчи помогает понять его. Красота и математика неразрывно связаны друг с другом.