Преобразование графиков тригонометрических функций

Урок от 14. 09. 2009.

Тема: Преобразование графиков тригонометрических функций.

Цель: 1. Формирование умений и навыков в преобразовании графиков тригонометрических функций.

2. Развитие внимания, логического мышления, способности анализировать, сопоставлять, делать выводы.

3. Способствование самостоятельной деятельности учащихся.

Оборудование: компьютер, проекционный экран, раздаточный материал.

ХОД УРОКА:

• Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

• Сообщение : ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ. (слайды3-8)

1. Актуализация опорных знаний. (Слайд № 2) Спираль Архимеда.
   Безобидная воронка, образованная вытекающей из ванны водой; свирепый смерч, опустошающий всё на своём пути; величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик – все они имеют форму спиралей.
   Одну из первых спиралей, описанную Архимедом, нам продемонстрирует светлячок. Отправим его в путешествие вдоль секундной стрелки часов, полагая, что он будет перемещаться с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное движение стрелки часов по кругу. Если вообразить бесконечно длинную стрелку, то жучок высветит нам спираль АрхимедаПо спирали Архимеда идёт на грампластинке звуковая дорожка.
   Металлическая пластинка с профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной ёмкости.
   Одна из деталей швейной машины – механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку – имеет форму спирали Архимеда.

2. (Слайд № 3) Логарифмическая спираль.
   Рассмотрим ещё одну удивительную спираль, которую на сей раз нарисуют три светлячка. Пусть находящиеся друг от друга на равном удалении, т.е. в вершинах правильного треугольника, жучки А, В и С решили познакомиться друг с другом. А направился прямиком к В, В – к С, С – к А. Путешествуя с постоянной скоростью, в любой момент времени светлячки будут располагаться в вершинах правильного треугольника, подобного исходному. Каждый светлячок при этом очертит дугу логарифмической спирали.
   Увидеть логарифмическую спираль можно в витках раковины. Семена в корзине подсолнуха располагаются по кривым, близким к дугам логарифмической спирали. Вращающиеся ножи в режущих устройствах имеют профиль, очерченный по логарифми-ческой спирали. Трубу, подводящую струю воды к лопастям турбинного колеса на гидроэлектростанции, также следует заворачивать по логарифмической спирали. Тогда потери энергии движущейся воды будут минимальными.

3. (Слайд № 4) Клофоида или спираль Корню.
   (от греч. «клофо» - «прясть»)
   Спираль Корню названа по имени французского физика А.Корню, применившего её в 1874 году для описания дифракции света. Ещё при строительстве первых железных дорог проектировщики столкнулись с проблемой: если прямой участок железнодорожного полотна сразу переходит в круговой, то не только пассажиры, но и все механические части получат резкий толчок. Чтобы избежать нежелательной встряски, между прямыми и круговыми участками железнодорожного пути устраивают так называемые переходные линии с плавным изменением кривизны в виде спирали Корню.

4. (Слайд № 5) Кардиоида.(от греч. «кардиа» - «сердце»). Кардиоида является одной из улиток Паскаля, названного в честь французского математика Э.Паскаля, который впервые рассмотрел и изучил этот класс кривых. Понаблюдаем за какой-нибудь точкой окружности, когда последняя катится по внешней стороне неподвижной окружности равного радиуса. Траекторией точки будет кардиоида. Она отдалённо напоминает форму сердца.
   В технике эта кривая часто используется для устройства кулачковых механизмов.

5. (Слайд № 6) Циклоида. (от греч. – «кругообразный»).
   Впервые исследования циклоиды проводил итальянский физик и астроном Г.Галилей. Циклоида – кривая, которую описывает точка окружности, катящейся без скольжения по некоторой прямой в той же плоскости.
   У циклоиды много любопытнейших свойств. Циклоида является кривой наибыстрейшего спуска. Иначе говоря, скатываясь по снежной горке, профиль которой выполнен в виде циклоиды, мы окажемся у основания горки быстрее, чем в случае другой формы горки. Циклоида является такой кривой, по которой должна двигаться тяжёлая материальная точка, чтобы период её колебаний не зависел от амплитуды колебаний. Используя это свойство, Х.Гюйгенс сконструировал первые часы с маятником.

Работа устно: разгадывание ребуса и повторение свойств тр. функций

(слайд9) «СИНУС» переход к слайду 10.

(слайд9) «КОТАНГЕНС»-к слайду11.

(слайд12) «ТАНГЕНС»-к слайду13.

(слайд12) «КОСИНУС»-к слайду14.

Работа над ошибками (слайды15-16)

Исторический материал (слайд17). Сообщение об Эйлере

Из истории тригонометрии.

Леонард Эйлер – крупнейший математик 18-го столетия. Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и работал в России, член Петербургской академии.

Почему же мы должны знать и помнить имя этого ученого?

К началу 18 века тригонометрия была еще недостаточно разработана: не было условных обозначений, формулы записывались словами, усваивать их было трудно, неясным был и вопрос о знаках тригонометрических функций в разных четвертях круга, под аргументом тригонометрической функции понимали только углы или дуги. Только в трудах Эйлера тригонометрия получила современный вид. Именно он стал рассматривать тригонометрическую функцию числа, т.е. под аргументом стали понимать не только дуги или градусы, но и числа. Эйлер вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, упорядочил вопрос о знаках тригонометрической функции в разных четвертях круга. Для обозначения тригонометрических функций он ввел символику: sin x, cos x, tg x, ctg x.На пороге 18-го века в развитии тригонометрии появилось новое направление – аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, то Эйлер рассматривал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях. Первая часть: учение о функции – часть общего учения о функциях, которое изучается в математическом анализе. Вторая часть: решение треугольников – глава геометрии. Такие вот нововведения были сделаны Эйлером.Учащиеся, которые изучают свойства тригонометрических функции, решают уравнения, неравенства, пользуются формулами тригонометрии должны помнить имя этого ученого.

• Игра «Вспомни формулу»(слайд18-19)

• Самостоятельная работа (слайд20)

• Итог: Что нового узнали на уроке?

Что было интересно?

• Оценки.

• Домашнее задание: Построить в одной системе координат графики функций: y=-ctg2x, y=2ctg(x-π/4)

• Всем спасибо!!!