Поурочные разработки по алгебре

Хажумарова роза ногаевна

Поурочные планы по алгебре

квадратные уравнения ( 20 )

У р о к 44. Определение квадратного уравнения.п.21.

Цели: ввести понятия квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения; формировать умения записывать квадратное уравнение в общем виде, различать его коэффициенты.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Является ли число а корнем уравнения:

а) 2х – 7 = 8, а = 7,5; б) х² – х – 20 = 0,а = 5; в) (х³ + 12) (х² – 8) = 0, а = .

2. Найдите корни уравнения:

а) (х – 3 ) (х + 12) = 0; б) (6х – 5) (х + 5) = 0; в) (х – 8) (х + 2) (х² + 25) = 0.

III. Объяснение нового материала.

Для введения понятия квадратного уравнения используется задача, при решении которой возникает уравнение, еще не известное учащимся. Возникает проблемная ситуация: мы не можем решить практическую задачу, так как пока не умеем решать уравнения нового вида. На этом уроке можно просто указать, какие корни имеет полученное уравнение и сообщить, что такое уравнение называется квадратным.

На доску выносится запись:

Уравнение вида ах2 + bx + c = 0, где a, b, c – числа, а ≠ 0, называется квадратным.

Далее рассматривается вопрос о коэффициентах квадратного уравнения. Число а называется первым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом и число с – свободный член. Особое внимание обращаем, что число а не может быть равным нулю, так как в этом случае уравнение примет вид bх + с = 0, а это линейное уравнение.

Числа b и с, в отличие от а, могут быть и равными нулю. Если хотя бы одно из них равно нулю, то уравнение называется неполным. Можно предложить учащимся самостоятельно выписать виды неполных квадратных уравнений:

b	с	Уравнение
0	Х	ах2 + с = 0
Х	0	ах2 + bх = 0
0	0	ах2 = 0

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке основное внимание следует уделить тому, чтобы учащиеся усвоили понятие квадратного уравнения, могли выделять его из множества уравнений, называть коэффициенты, преобразовывать неприведённое квадратное уравнение в приведённое, овладели соответствующей терминологией.

Решение №№№

V. Итоги урока. В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое уравнение называется квадратным?

– Может ли коэффициент а в квадратном уравнении быть равным нулю?

– Является ли уравнение 3х² – 7 = 0 квадратным? Назовите коэффициенты этого уравнения.

– Какое квадратное уравнение называется неполным? Приведите примеры.

– Какое квадратное уравнение называется приведённым? Приведите примеры.

– Как преобразовать неприведённое квадратное уравнение в приведённое?

Домашнее задание:

1. № 512, № 513.

У р о к 45. Тема: Решение неполных квадратных уравнений.п.21.

Цели: формировать умения решать неполные квадратные уравнения различных видов.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Найдите корни уравнения:

а) х² = 0; б) х² = 16; в) х² = ; г) х² = 144;д) х² = ; е) х² = ; ж) х² = 2,56; з) х² = .

III. Проверочная работа. В а р и а н т 1

Составить квадратное уравнение по его коэффициентам и проверить, является ли указанное число х₀ корнем этого уравнения:

а) a = 2; b = –3; c = 1; х₀ = ; б) a = –1; b = 4; c = 0; х₀ = 4; в) a = ; b = –1; c = ; х₀ = .

В а р и а н т 2

Составить квадратное уравнение по его коэффициентам и проверить, является ли указанное число х₀ корнем этого уравнения:

а) a = 3; b = –2; c = –1; х₀ = ;б) a = –1; b = 0; c = 9; х₀ = 3; в) a = ; b = –1; c = ; х₀ = .

IV. Объяснение нового материала.

Для осознанного восприятия приёмов решения неполных квадратных уравнений объяснение проводим на конкретных примерах с последующим составлением алгоритмов решения.

1. № 514 (устно). 2. .

3.

В ы в о д: для решения уравнения вида ах² + с = 0 (с ≠ 0) воспользуемся алгоритмом:

1) Перенесём свободный член с в правую часть уравнения.

2) Делим обе части уравнения на а (с ≠ 0, а ≠ 0), получаем уравнение х² = .

3) Если 0, то уравнение имеет два корня:

.

Если V. Формирование умений и навыков.

На первых порах желательно, чтобы учащиеся перед решением неполных квадратных уравнений вслух проговаривали их вид и алгоритм решения, пока не будет сформирован устойчивый навык.

№ 515 (а, в, д), № 517 (а, в, е), № 519 (устно), № 523 (а, в).

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое квадратное уравнение называется неполным?

– Какие существуют виды неполных квадратных уравнений?

– Какие корни имеет уравнение вида ах² = 0?

– Как решается неполное квадратное уравнение, в котором коэффициенты b = 0, с ≠ 0? Сколько корней может иметь такое уравнение?

– Как решается неполное квадратное уравнение, в котором коэффициенты b ≠ 0, с = 0? Сколько корней может иметь такое уравнение?

Домашнее задание: № 515 (б, г, е), № 518 (а, г, д, е), № 521 (а, в), № 520, № 522 (а, в).

У р о к 46 . Тема:Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена. п.22.

Цели: ознакомить учащихся с приемом решения квадратного уравнения выделением квадрата двучлена.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите коэффициенты квадратного уравнения:

а) 3х² – 17х + 4 = 0; б) 2х – х² + 1 = 0;т в) – х² = 0; г) х² + 2х = 0.

2. Найдите корни уравнения:

а) х² = 1,21; б) х² = ; в) х² = ; г) х² = 0,0049.

3. Представьте одночлен в виде удвоенного произведения двух множителей:

а) 10х; б) –8у; в) 7а; г) .

4. Разложите на множители:

а) х² – 4х + 4; б) а² + 6а + 9; в) y² + y + 1 ; г) 3х² – 6х + 3.

III. Объяснение нового материала.

Для осознанного восприятия приёма решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена объяснение следует проводить в н е с к о л ь к о э т а п о в.

1. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й.

При решении квадратных уравнений рассматриваемым приёмом учащимся необходимо свободно решать уравнения вида х² = а и (х + k)² = m.

Частично знания учащихся были актуализированы при выполнении устной работы. Чтобы ребята вспомнили, как решаются уравнения вида (х + k)² = m, необходимо им предложить з а д а н и е:

– Решите уравнение:

а) (х + 2)² = 16; г) (2х – 7)² = б) (х – 3)² = ; д) (1 – 3х)² = ;в) (х + 1)² = 4;е) (2х + 1) = 0.

2. О з н а к о м л е н и е с приёмом решения квадратного уравнения путём выделения квадрата двучлена следует начать с рассмотрения приведённого квадратного уравнения, левая часть которого представляется в виде полного квадрата двучлена:

х² + 10х + 25 = 0; х² – 6х + 9 = 0; х² + х + = 0 и т. п.

IV. Формирование умений и навыков.

Следующие упражнения представляют собой последовательность квадратных уравнений, решаемых приёмом выделения квадрата двучлена, от простых к более сложным.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое уравнение называется квадратным?

– Какое квадратное уравнение называется приведённым?

– Как преобразовать неприведённое квадратное уравнение в приведённое?

– В чём заключается приём решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена?

– Любое ли квадратное уравнение может быть решено указанным приёмом?

Домашнее задание.

У р о к 47. Тема: Вывод формулы корней квадратного уравнения. п.22.

Цели: вывести общую формулу нахождения корней квадратного уравнения; формировать умение её использовать.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

1. Выпишите коэффициенты a, b, c квадратного уравнения:

В а р и а н т 1 а) х2 – 3х + 17 = 0; б) 3х2 = 2; в) –7х + 16х2 = 0; г) = 0.

В а р и а н т 2 а) 7х2 + 6х – 4 = 0; б) –х2 = 5х; в) 18 – х2 = 0; г) – 4 = 0.

2. Найдите корни уравнения:

В а р и а н т 1 а) 2х2 – 18 = 0;б) 4у2 + 7у = 0; в) х2 + 16 = 0; г) (х – 3)2 – 9 = 0.

В а р и а н т 2 а) х2 = 7;б) 8у2 – 5у = 0; в) х2 + 9 = 0; г) (х + 3)2 – 4 = 0.

3. Решите уравнение приемом выделения квадрата двучлена:

В а р и а н т 1 2х2 – 24х + 54 = 0

В а р и а н т 2 3х2 + 24х – 27 = 0

III. Объяснение нового материала.

Для мотивации изучения общей формулы корней квадратного уравнения достаточно обратить внимание учащихся на д в а м о м е н т а:

1) решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям;

2) каждый раз, решая квадратное уравнение данным приёмом, мы повторяем одни и те же шаги (алгоритм).

Замечаем, что в левой части уравнения находится квадрат выражения (двучлена). Количество корней уравнения зависит от знака правой части уравнения. Более того, 4а² 0 для любого а ≠ 0, значит, для решения важен только знак выражения b² – 4ac. Так появляется понятие дискриминанта D = b² – 4ac («дискриминант» в переводе с латинского – различитель).

После рассмотрения вопроса о количестве корней квадратного уравнения и вывода их общей формулы полезно вывесить на доску плакат:

Решение квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0; D = b2 – 4ac. Если D Если D = 0, то x = . Если D 0, то x = .

IV. Формирование умений и навыков.

. Желательно, чтобы учащиеся за урок выучили формулу D = b² – 4ac и хорошо усвоили алгоритм нахождения корней квадратного уравнения.

1. № 533. 4. № 534 (а, в), № 535 (а, в, г), № 536 (в, д), № 538 (а).

V. Итоги урока. В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– На чем основан вывод формулы корней квадратного уравнения?

– Как вычислить дискриминант квадратного уравнения?

– Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

– Как определить количество корней квадратного уравнения?

– Если квадратное уравнение имеет единственный корень, то что можно сказать о трёхчлене, стоящем в левой части уравнения?

Домашнее задание: № 535 (б, д, е), № 536 (б, г, е), № 537 (а, в).

У р о к 48. Тема: Решение квадратных уравнений по формуле. п.22.

Цели: продолжить формирование умения решать квадратные уравнения по формуле.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Вычислите:

а) ;б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

III. Проверочная работа.

– Вычислите дискриминант квадратного уравнения и напишите, сколько корней имеет уравнение:

В а р и а н т 1 а) 5х2 – 4х – 1 = 0; б) х2 – 6х + 9 = 0; в) 3х – х2 + 10 = 0; г) 2х + 3 + 2х2 = 0.

В а р и а н т 2 а) 3х2 – 5х + 2 = 0: б)4х2 – 4х + 1 = 0; в) 2х – х2 + 3 = 0; г) 3х + 1 + 6х2 = 0.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке основное внимание следует уделить непосредственному применению алгоритма вычисления корней квадратного уравнения по формуле. Важно, чтобы учащиеся запомнили этот алгоритм, а также желательно, чтобы они начали запоминать формулу корней.

Во избежание формального применения алгоритма на этом уроке следует решать упражнения, в которых требуется проводить преобразования квадратного уравнения к общему виду.

Кроме того, следует приучать учащихся преобразовывать даже квадратные уравнения стандартного вида к более «удобным», решение которых будет менее громоздким и трудным, чем решение исходного уравнения. Для этого следует обратить внимание на т р и с л у ч а я, встречающиеся при решении квадратных уравнений:

1) Коэффициент а является отрицательным. Нужно домножить обе части уравнения на –1.

2) Все коэффициенты уравнения имеют общий делитель. Нужно разделить обе части уравнения на этот делитель.

3) Среди коэффициентов уравнения встречаются дробные. Нужно умножить обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей, чтобы коэффициенты стали целыми (возможны исключения).

Также на этом уроке следует чередовать полные и неполные квадратные уравнения, чтобы учащиеся осознанно выбирали рациональный способ решения: по общей формуле либо по одному из алгоритмов решения неполного квадратного уравнения.

1. № 541 (а, г, д). 2. № 542 (б, г, ж), № 543 (б, е).3. № 544 (а, г), № 546 (б), № 547 (б, г).

4. № 549. № 544№ 549. х² = 0,5х + 3.

Г р а ф и ч е с к о е р е ш е н и е – Построим график функций у = х² и у = 0,5х + 3.

V. Итоги урока. В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как определить количество корней квадратного уравнения?

– Каков алгоритм вычисления корней квадратного уравнения?

– Что нужно сделать, прежде чем применять алгоритм вычисления корней, если коэффициент а квадратного уравнения является отрицательным?

– Что нужно сделать, если все коэффициенты квадратного уравнения имеют общий делитель?

– Что нужно сделать, если хотя бы один коэффициент квадратного уравнения является дробным?

Домашнее задание: № 542 (а, в, е, з), № 543 (г, д), № 544 (в), № 545 (а, г), № 547

У р о к 49. Тема: Решение квадратных уравнений. п.22.

Цели: вывести формулу (II) нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом; формировать умения применять формулы I и II для решения квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите коэффициенты a, b, c уравнений:

а) 4х² – 5х – 7 = 0; г) 8 – 9х² = 0; б) х² + 2 – 3х = 0; д) 11х² = 0;в) 3х² + 2х = 0; е) 17 – х² – х = 0.

2. Решите уравнение:

а) 2х² – 18 = 0; в) х² + 16 = 0; б) 3х² – 12х = 0; ) 3,6х² = 0.

3. Сколько корней имеет уравнение:

а) 6х² – 5х = 0; в) 3х² – 4 = 0; б) х² – 4х + 4 = 0; г) 2х² + 7 = 0?

III. Объяснение нового материала. Решить квадратное уравнение 15х²-34х+ 15 = 0

Для решения квадратных уравнений, у которых второй коэффициент четный, существует другая формула корней, позволяющая упростить вычисления.

Вывод этой формулы проводится согласно пункту учебника.

ax² + 2 ∙ k ∙ x + c = 0 (b = 2k).

Р е ш е н и е к в а д р а т н о г о у р а в н е н и я a2 + 2kx + c = 0, a ≠ 0; D1 = k2 – ac. Если D1 Если D1 = 0, то x = . Если D1 0, то x = .

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 539 (б, г, ж), № 540 (в, з).

№ 539 (ж).

Р е ш е н и е

7z² – 20z + 14 = 0.

Ф о р м у л а I	Ф о р м у л а II
D = (–20)2 – 4 · 7 · 14 = = 400 – 392 = 8.	D1 = (–10)2 – 7 · 14 = = 100 – 98 = 2.

2. № 541 (б, в, ж), № 546 (а, г), № 550 (б), № 552 (а, в), № 553 (а).

3. № 554, № 555, № 554.

Можно предположить, что корни уравнений ax² + bx + c = 0 и cx² +
+ bx + a = 0 являются взаимно-обратными числами. Докажем это.

ax2 + bx + c = 0.

cx2 + bx + a = 0.

№ 555.

Р е ш е н и е

х² – ах + (а – 4) = 0.

D = (–а)² – 4 · 1 · (а – 4) = а² – 4а + 16.

Чтобы определить количество корней, необходимо оценить дискриминант. Выделим в выражении квадрат двучлена:

D = (а² – 2 · 2 · а + 4) + 12 = (а – 2)² + 12.

Дискриминант принимает положительные значения при любом а (точнее D ≥ 12), значит, при любом а уравнение имеет два корня. О т в е т: а) нет; б) нет; в) при любом а.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: № 539 (в, е, з), № 540 (б, е, ж), № 541 (е, з), № 548 (б, г), № 551 (а, г, д)

У р о к 50. Тема:решение задач с помощью квадратных уравнений. п.23.

Цели: ввести понятие «математическая модель», выделить этапы решения задач алгебраическим методом; формировать умение составлять квадратное уравнение по условию задачи и решать его.

Ход урока

I. Организационный момент.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Сколько корней имеет уравнение? Поясните ответ.

а) 3х² – 7х = 0; в) 2х² – 1 = 0;б) х² – 2х + 1 = 0; г) х² + 3х + 3 = 0.

2. Решите уравнение:

а) 5х² + 14х – 3 = 0; в) 7х² + 8х + 1 = 0; б) х² – 2х + 2 = 0; г) х – 3х² – 2 = 0.

В а р и а н т 2

1. Сколько корней имеет уравнение? Поясните ответ.

а) 6х² – 5х = 0; в) 3х² – 4 = 0; б) х² – 4х + 4 = 0; г) х² – 4х + 5 = 0.

2. Решите уравнение:

а) 5х² + 8х – 4 = 0; в) 7х² + 6х – 1 = 0; б) х² – 6х + 11 = 0; г) 4х – 3х² – 2 = 0.

IV. Развивающее задание.

– Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:

а) 1 и 3; б) и – ; в) 1 – ; 1 + .

V. Объяснение нового материала.

Корень уравнения, составленного по условию задачи, может не удовлетворять этому условию. В то же время полученные при решении квадратного уравнения два различных корня могут одновременно отвечать условию задачи. Поэтому возникает необходимость интерпретации полученного решения.

Этапы решения задачи алгебраическим методом:

1. Анализ условия задачи и его схематическая запись.

2. Перевод естественной ситуации на математический язык (построение математической модели текстовой задачи).

3. Решение уравнения, полученного при построении математической модели.

4. Интерпретация полученного решения.

В процессе обсуждения этого вопроса можно выделить несколько самых распространённых ситуаций:

1) Корень уравнения является отрицательным числом, когда за неизвестное принята какая-то мера, которая может выражаться только положительным числом (н а п р и м е р, длина, площадь, объём и т. п.).

2) Корень уравнения является числом из более широкого множества, чем то, которое описывается в задаче (н а п р и м е р, получено дробное число, когда в условии задачи речь идет о целых числах).

3) Несоответствие полученных положительных размеров с реальными (н а п р и м е р, скорость пешехода равна 80 км/ч и т. п.).

При решении задач учащиеся могут в процессе интерпретации полученных решений соотносить ситуации с тремя выделенными.

VI. Формирование умений и навыков.

1. № 559, № 561. № 563. № 564.№ 566 5. № 568 (самостоятельное решение).

Пусть х – число рядов в кинотеатре, тогда (х + 8) – число мест в ряду. Количество мест в кинотеатре равно х · (х + 8). Зная, что всего в кинотеатре 884 места, составим уравнение:

х · (х + 8) = 884;

х² + 8х – 884 = 0;

D₁ = 4² – 1 · (–884) = 16 + 884 = 900; D₁ 0; 2 корня.

x₁ = –4 + = –4 + 30 = 26;

x₂ = –4 – = –4 – 30 = –34 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 26 рядов.

VII. Итоги урока.

Домашнее задание: № 560, № 562, № 565, № 567.

У р о к 51. Тема:Решение задач с помощью квадратных уравнений. п.23.

Цели: продолжить формирование умения решать текстовые задачи с помощью составления квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Найдите дискриминант квадратного уравнения и определите, сколько корней имеет уравнение:

а) х² + 8х – 3 = 0; ; б) 2х² – х + 10 = 0; в) х² + 6х + 9 = 0; ; г) 7х² + 2х + 5 = 0.

2. Решите уравнение: а) х² = 1600; б) х² = 5; в) х² = ; г) х² = 1,44; д) х² = 0; е) х² = .

III. Формирование умений и навыков.

1. № 570. № 571. № 573. . № 575.

IV. Проверочная работа.

– Решите задачи:

В а р и а н т 1

1. Два последовательных чётных числа таковы, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа. Найдите эти числа.

2. Одну сторону квадрата уменьшили на 2 см, а другую – на 1 см и получили прямоугольник с площадью 6 см². Найдите длину стороны квадрата. Изобразите квадрат и прямоугольник.

В а р и а н т 2

1. Два последовательных нечётных числа таковы, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа. Найдите эти числа.

2. Одну сторону квадрата увеличили на 2 см, а другую – на 1 см и получили прямоугольник с площадью 12 см². Найдите длину стороны квадрата. Изобразите квадрат и прямоугольник.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие этапы выделяют при решении задачи алгебраическим методом?

– В чём состоит интерпретация полученного решения задачи?

– Когда полученное решение может противоречить условию задачи?

– Какие решения, полученные на сегодняшнем уроке, вы интерпретировали как противоречащие условию задачи?

Домашнее задание: № 569, № 572, № 574, № 578 (б).

У р о к 52. Тема: теорема Виета . п.24.

Цели: изучить теорему Виета; формировать умение применять теорему Виета и обратную ей теорему при решении приведённых квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите полные, неполные и приведённые квадратные уравнения:

а) 3х² – 2х = 0;е) –21х² + 16х = 0;б) 7х² – 16х + 4 = 0; ж) х² = 0; в) х² – 3 = 0; з) х² + 4х + 4 = 0;

г) –х² + 2х – 4 = 0; и) х² = 4; д) 2 – 6х + х² = 0; к) –7х² + 6 = 0.

2. Преобразуйте квадратное уравнение в приведённое:

а) 3х² + 6х – 12 = 0; б) 2х² = 0; в) –х² – 2х + 16 = 0; г) х² + х – 2 = 0;

д) 3х² – 7 = 0; е) –5х² + 10х – 2 = 0.

III. Объяснение нового материала.

Рассмотреть доказательство теоремы можно как по учебнику (с. 127– 128), так и привлекая учащихся, поскольку оно не является сложным. После доказательства на доску выносится запись:

Т е о р е м а В и е т а Если х1, х2 – корни уравнения x2 + px + q = 0, то х1 + х2 = –р; х1 · х2 = q.

1) № 580 (а, б, в, г) – устно.

2) х² – х – 5 = 0.

3) х² + 3х + 5 = 0.

2. Т е о р е м а В и е т а для неприведённого квадратного уравнения.

Т е о р е м а В и е т а Если х1, х2 – корни уравнения аx2 + bx + c = 0, то х1 + х2 = ; х1 ∙ х2 = .

3. Т е о р е м а, обратная теореме Виета.

После рассмотрения (по учебнику) доказательства теоремы привести примеры нахождения корней квадратного уравнения подбором.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 580 (д, е, ж, з) – устно. 2. № 581 (а, в), № 582 (а, б, г, д).

3. Решите квадратное уравнение по формуле и сделайте проверку, используя теорему Виета:

а) х² + 7х – 8 = 0; б) х² – 5х – 14 = 0; в) х² – 4х – 5 = 0; г) х² + 8х + 15 = 0.

4. № 583 (а, в).

5. Найдите подбором корни уравнения:

а) х² – 11х + 28 = 0; б) х² + 11х + 28 = 0; в) х² – 3х – 28 = 0;г) х² + 3х – 28 = 0;

д) х² + 20х + 36 = 0; е) х² + 37х + 36 = 0.

V. Проверочная работа.

Каждое из следующих уравнений имеет по два корня: х₁ и х₂. Не находя их, найдите значение выражений х₁ + х₂ и х₁ · х₂: В а р и а н т 1

а) х² – 7х – 9 = 0; б) 2х² + 8х – 19 = 0; в) 5х² – 7х = 0; г) 13х² – 25 = 0.

В а р и а н т 2

а) х² + 8х – 11 = 0; б) 3х² – 7х – 12 = 0; в) 4х² + 9х =0; г) 17х² – 50 = 0.

VI. Итоги урока.

Домашнее задание: № 581 (б, г), № 582 (в, е), № 583 (б, г), № 584.

Д о п о л н и т е л ь н о: найти подбором корни уравнения:

а) х² – 12х + 27 = 0; б) х² + 6х – 27 = 0; в) х² + 9х – 36 = 0; г) х² – 35х – 36 = 0.

Урок53.Тема:ПрименениетеоремыВиета и обратной ей теоремы. п.24.

Цели: продолжить формирование умения применять теорему Виета и обратную ей теорему при решении приведённых и неприведённых квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Убедитесь, что уравнение имеет корни и назовите их сумму и произведение:

а) х² – 12х – 45 = 0; б) у² + 17у + 60 = 0 ; в) 3у – 40 + у² = 0 г) х² – 2х + 16 = 0;

д) х² – 27х = 0 ; е) 60z + z² = 0; ж) 3х² – 15х + 18 = 0; з) х² + х + 8 = 0.

III. Проверочная работа. В а р и а н т 1

1. Зная один из корней уравнения, найдите другой корень, используя теорему Виета:

а) х² – 3х – 18 = 0; х₁ = –3; б) 2х² – 5х + 2 = 0; х₁ = 2.

2. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнями уравнения х² – ах + 6 = 0 были бы числа 2 и 3?

В а р и а н т 2

1. Зная один из корней уравнения, найдите другой корень, используя теорему Виета:

а) х² – 4х – 21 = 0; х₁ = –3; б) 2х² – 7х + 6 = 0; х₁ = 2.

2. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнями уравнения х² – 5х + а = 0 были бы числа 2 и 3?

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся решают приведённые и неприведённые квадратные уравнения с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

На первых порах учащимся может быть трудно подбирать корни устно, поэтому стоит предложить им обозначать корни уравнения и записывать соответствующие равенства.

Обратить внимание учащихся, что подбор корней начинаем с оценивания произведения корней, то есть находим делители свободного члена квадратного уравнения.

1. № 586.2. № 587.3. № 589, № 590 – самостоятельно.4. № 593 (а), № 594 (а, д, е), № 595 (б, д, е).

5. № 675.

После выполнения этого упражнения можно рассмотреть с учащимися два способа нахождения корней квадратного уравнения, вытекающие из теоремы Виета.

1-й с п о с о б. Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 сумма коэффициентов равна нулю, то х₁ = 1, х₂ = .

2-й с п о с о б. Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 сумма коэффициентов а и с равна коэффициенту b, то х₁ = –1, х₂ = – .

В буквенном виде это может быть записано так:

ax2 + bx + c = 0
Если a + b + c = 0, то х1 = 1; х2 = .	Если a + c = b, то х1 = –1; х2 = – .

6. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения задачи повышенной трудности.

№ 591.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте теорему Виета и обратную ей теорему.

– Если коэффициент с квадратного уравнения является положительным числом, то какими по знаку могут быть его корни? А если с – отрицательное число?

– Какие корни имеет квадратное уравнение, если сумма его коэффициентов равна нулю? а + с = b?

Домашнее задание: № 585, № 588, № 594 (б, в, г), № 595 (а, в, г), № 592*.

Урок54. Контрольная работа № 5

В а р и а н т 1

1. Решите уравнение:

а) 2х² + 7х – 9 = 0; в) 100х² – 16 = 0;

б) 3х² = 18х; г) х² – 16х + 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см².

3. В уравнении х² + рх – 18 = 0 один из его корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.

В а р и а н т 2

1. Решите уравнение:

а) 3х² + 13х – 10 = 0; в) 16х² = 49;

б) 2х² – 3х = 0; г) х² – 2х – 35 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см².

3. Один из корней уравнения х² + 11х + q = 0 равен –7. Найдите другой корень и свободный член q.

В а р и а н т 3

1. Решите уравнение:

а) 7х² – 9х + 2 = 0; в) 7х² – 28 = 0;

б) 5х² = 12х; г) х² + 20х + 91 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х² + рх + 56 = 0 один из его корней равен –4. Найдите другой корень и коэффициент р.

В а р и а н т 4

1. Решите уравнение:

а) 9х² – 7х – 2 = 0; в) 5х² = 45;

б) 4х² – х = 0; г) х² + 18х – 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х² – 7х + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член а

У р о к 55. Ткма: РЕШЕНИЕ дробно- рациональных уравнений. п.25.

Цели: ввести понятие дробного рационального уравнения, формировать умение применять алгоритм решения дробного рационального уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ результатов контрольной работы.

Проанализировать и исправить ошибки, допущенные учащимися при решении контрольной работы. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.

III. Устная работа.

1. Какие из выражений являются целыми, какие – дробными?

а) ; б) (а – b)² – 3ab; в) ;г) ; д) ; е) .

2. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

а) 2х² – 8; б) ; в) ; г) ; д) е) .

IV. Объяснение нового материала.

1. В в е д е н и е п о н я т и я дробного рационального уравнения.

2. Р а с с м о т р е н и е а л г о р и т м а решения дробного рационального уравнения.

Решая целое уравнение с числом в знаменателе, они умножают обе части уравнения на общий знаменатель, что позволяет избавиться от дробей. Возникает идея применить этот приём для нового вида уравнений. После домножения обеих частей уравнения на общий знаменатель, следует спросить учащихся, что произошло с областью допустимых значений уравнения? Она «расширилась» и теперь допустимыми стали любые значения переменных, то есть полученное уравнение не равносильно исходному. Формулируется алгоритм решения дробного рационального уравнения:

1) Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение; 2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель; 3) решить полученное целое уравнение; 4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

V. Формирование умений и навыков.

1. № 600 (а, в, д, и). 2. № 601 (а, в, г).

Р е ш е н и е

№ 601.

а) – 4 = 0; ОДЗ: х + 5 ≠ 0,

х ≠ –5.

2х – 5 – 4 (х + 5) = 0;

2х – 5 – 4х – 20 = 0;

–2х – 25 = 0;

–2х = 25;

х = –12,5.

3. № 602 (а, е).

а) ; ОДЗ: х² + 1 ≠ 0,

х – любое.

х² = 7х;

х² – 7х = 0;

х (х – 7) = 0;

х = 0 или х – 7 = 0;

х = 7.

VI. Итоги урока.

Домашнее задание: № 600 (б, г, е), № 601 (б, е, з), № 602 (в, д, ж).

У р о к 56. Тема: Решение дробных рациональных уравнений.п.25.

Цели: продолжить формирование умения решать дробные рациональные уравнения по алгоритму.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Разложите на множители:

а) а² – 9; г) 2х³ – 8х; б) х² + 2х + 1; д) 9у² – 1; в) 3х² – 6х; е) –х² + 6х – 9.

2. Решите уравнение:

а) = 0; в) ; б) = 0; г) .

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решить уравнения:

1) = x; 2) ; 3) .

В а р и а н т 2

Решить уравнения:

1) = 2x; 2) ; 3) .

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке отрабатывается умение находить общий знаменатель дробей, выполнив предварительно разложение знаменателей дробей, входящих в уравнение, вынесением общего множителя либо по формулам сокращенного умножения.

1. № 603 (а, в, г), № 605 (б, е).

Р е ш е н и е

№ 603.

а) = 1; ОДЗ: х  –2;

х  2.

(3х + 1) (х – 2) – (х – 1) (х + 2) = 1 · (х + 2) (х – 2);

3х² – 6х + х – 2 – х² – 2х + х + 2 = х² – 4;

3х² – 6х + х – 2 – х² – 2х + х + 2 – х² + 4 = 0;

х² – 6х + 4 = 0.

D₁ = (–3)² – 1 · 4 = 9 – 4 = 5, D₁ 0, 2 корня.

x₁ = 3 + ; x₂ = 3 – .

в) .

; ОДЗ: y ≠ – ; y ≠ .

4 – 4 (3у – 1) = –5 (3у + 1);

4 –12у + 4 = –15у – 5;

3у = –13;

у = – ; у = –4 .

г) – 1;

+ 1 = 0; ОДЗ: х ≠ –3; х ≠ 3.

+ 1 = 0;

4 (х – 3) + 4 (х + 3) + (х + 3) (х – 3) = 0;

4х – 12 + 4х + 12 + х² – 9 = 0;

х² + 8х – 9 = 0.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: № 603 (б, е), № 605 (в, г), № 606 (а, г), № 607 (в, е).

У р о к 57. Тема: Решение дробных рациональных уравнений.п.25.

Цели: продолжить формирование умения решать дробные рациональные уравнения по алгоритму.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Найдите подбором корни уравнения:

а) х² – 2х – 15 = 0; г) х² – 29х + 100 = 0; б) х² + 5х + 6 = 0; д) х² – 6х + 8 = 0;

в) х² + 7х – 8 = 0; е) х² + 15х + 36 = 0.

2. Решите уравнение:

а) = 0; в) = 0; б) = 0; г) = 0.

III. Формирование умений и навыков.

Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на закрепление умения решать дробные уравнения по алгоритму, а также некоторые представляют собой задания повышенной трудности.

1. № 608 (б, г), № 609 (а, б).

Р е ш е н и е

№ 608.

б) ; ОДЗ: х ≠ 3; х ≠ –4.

17 – (х + 4) – х (х – 3);

17 – х – 4 – х² + 3х = 0;

–х² + 2х + 13 = 0.

D₁ = 1 + 13 = 14, D₁ 0, 2 корня.

x₁ = = 1 + ; x₂ = = 1 – .

г) .

; ОДЗ: x ≠ ;

x ≠ – .

Общий знаменатель дробей x(3x – 1)²(3x + 1).

4x(3x – 1) + (3x – 1)(3x + 1) = 4x(3x + 1);

12х² – 4x + 9х² – 1 = 12х² + 4x;

9х² – 8х – 1 = 0.

a + b + c = 0, значит, x₁ = 1, x₂ = , то есть x₁ = 1, x₂ = .

О т в е т: б) 1 – ; 1 + ; г) ; 1.

На этом примере наглядно демонстрируем учащимся необходимость разложения знаменателей на множители для последующего «составления» общего знаменателя.

2. . = 0; ОДЗ: а ≠ –3.

7а – 6 – (а + 3) + а² – 3а + 9 = 0; 7а – 6 – а – 3 + а² – 3а + 9 = 0;

а² + 3а = 0; а (а + 3) = 0;

а = 0 или а = –3.

О т в е т: 0.

3. = 0. = 0.Общий знаменатель дробей х(х² – 1)(х² + 1).

Домножим обе части уравнения на общий знаменатель: х² + 1 + х² – 1 – 2х = 0;

2х² – 2х = 0; 2х (х – 1) = 0; х = 0 или х = 1.

Если х = 0, то х(х² – 1)(х² + 1) = 0. Если х = 1, то х(х² – 1)(х² + 1) = 0.

О т в е т: нет решений.

4. № 611 (б).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: № 608 (а, в), № 609 (в), № 611 (а), № 695 (д, з).

У р о к 58. Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.п.25.

Цели: формировать умение составлять дробное рациональное уравнение по условию текстовой задачи и решать его.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Заполните таблицу.

V	t	S
60 км/ч	1,5 ч
5 км/ч		200 м
	45 мин	1 км
80 км/ч	15 мин
20 м/с		2 км

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Найти корни уравнений:1) = 3; 2) .

В а р и а н т 2

Найти корни уравнений: 1) = 2; 2) .

IV. Объяснение нового материала.

1-й э т а п. Анализ условия задачи и его схематическая запись.

2-й э т а п. Перевод естественной ситуации на математический язык (построение математической модели: введение переменной и составление дробного рационального уравнения).

3-й э т а п. Решение полученного уравнения.

4-й э т а п. Интерпретация полученного результата.

V. Формирование умений и навыков.

1. № 617. 2. № 619.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

V1 = х км/ч	t1 = ч		на 20 мин меньше
20 км
V2 = (х + 2) км/ч	t2 = ч

Пусть х км/ч – скорость лыжника, тогда (х + 2) км/ч – скорость второго лыжника. Первый лыжник затратил времени ч, второй – ч. Зная, что второй лыжник затратил на 20 мин, или ч, меньше первого, составим уравнение:

; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –2.

3х(х + 2) – общий знаменатель.

60(х + 2) – 60х = х(х + 2); 60х + 120 – 60х – х² – 2х = 0; –х² – 2х + 120 = 0; х² + 2х – 120 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = –12, х₂ = 10. Корень х = –12 не удовлетворяет условию задачи. Значит, 10 км/ч – скорость второго лыжника.

О т в е т: 10 км/ч; 12 км/ч.

3. № 621 .4. № 623

VI. Итоги урока.

Домашнее задание: № 618, № 620, № 624, № 639.

У р о к 59.

Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.п.26.

Цели: формировать умение решать текстовые задачи с помощью дробных рациональных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Найдите:

а) 50 % от 42; б) 1 % от 300 ; в) 2 % от 200; д) 25 % от 280; е) 20 % от 55;

ж) 50 % от 31; з) 3 % от 90; и) 10 % от 7 ; к) 25 % от 84.

III. Проверочная работа. В а р и а н т 1

Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше её знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на . Найдите эту дробь.

В а р и а н т 2

Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель – на 21, то дробь уменьшится на . Найдите эту дробь.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 622.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

	Урожайность, ц/га	Площадь, га	Урожайность, ц
Прошлый год	х		192
Этот год	х + 2		192

= 0,4; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –2.

192(х + 2) – 192х = 0,4х(х + 2); 384 – 0,4х² – 0,8х = 0; х² + 2х – 960 = 0;

D₁ = 1 + 960 = 961, D₁ 0, 2 корня.

x₁ = –1 + = –1 + 31 = 30;x₂ = –1 – = –1 – 31 = –32 – не удовлетворяет условию задачи. О т в е т: 30 ц/га.

2. № 625. 3. № 630.

Перед решением задачи необходимо вспомнить, что такое концентрация вещества в растворе (сплаве, слитке, смеси и т. п.).

, где k – концентрация вещества в процентах, т₁ – масса вещества, т – общая масса.

4. № 627, № 629№ 627. № 629.

V. Итоги урока.

Домашнее задание:№626,№628№627док ,№ 629

У р о к 60.Тема: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.п.26.

Цели: продолжить формирование умения решать текстовые задачи с помощью дробных рациональных уравнений; формировать умение решать задачи на совместную работу и задачи повышенной сложности.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Самостоятельная работа. В а р и а н т 1

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошёл 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки?

В а р и а н т 2

Катер прошёл 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч?

III. Формирование умений и навыков.

В задачах на работу фигурируют величины: производительность (р), время (t) и работа (А), связанные формулой A = p · t. Причём в задачах на конкретную работу мы за А принимаем конкретное число (количество выточенных деталей, количество напечатанных страниц и т. п.), а в задачах на абстрактную работу принимаем значение А, равное 1 (заполнен водой бассейн, вспахано поле и т. д.).

. Каждый участник выполняет часть работы: и т. д.

1. Две мастерские должны были пошить по 96 курток. Первая мастерская шила в день на 4 куртки больше, чем вторая, и потому выполнила заказ на 2 дня раньше. Сколько курток шила в день каждая мастерская?

2. № 632

3. Слесарь может выполнить заказ за то же время, что и два ученика, работая вместе. За сколько часов может выполнить заказ слесарь и каждый из учеников, если слесарь может выполнить его на 2 часа скорее, чем один первый ученик, и на 8 часов скорее, чем один второй?

4. Если останется на уроке время и для сильных в учебе учеников, можно предложить для решения задачу повышенной трудности.

№ 634*.Р е ш е н и е

V1 = х (км/ч)

П С

V2 = х + 5 (км/ч)

Пусть х км/ч – скорость велосипедиста от посёлка до станции. Обозначим этот путь за 1. Тогда от посёлка до станции велосипедист ехал , а от станции до посёлка часов, значит, всего в пути он был часов, а весь путь составил 2. Зная, что средняя скорость на всем пути следования составляла 12 км/ч, получим уравнение:

12 · = 2;

= 1; ОДЗ: х ≠ 0; х ≠ –5.

6(х + 5) + 6х = х(х + 5);

6х + 30 + 6х – х² – 5х = 0;

–х² + 7х + 30 = 0;

х² – 7х – 30 = 0.

По теореме, обратно теореме Виета, х₁ = 10; х₂ = –3 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 10 км.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: № 633, № 695 (а, е), № 702.

У р о к 63.
Контрольная работа № 6

В а р и а н т 1

1. Решите уравнение:

а) ; б) = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 минут меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?

В а р и а н т 2

1. Решите уравнение:

а) ; б) = 2.

2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

В а р и а н т 3

1. Решите уравнение:

а) ; б) = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 48 км, обратно он возвращался по другой дороге, которая короче первой на 8 км. Увеличив на обратном пути скорость на 4 км/ч, велосипедист затратил на 1 час меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт В?

В а р и а н т 4

1. Решите уравнение:

а) ; б) = 2.

2. Катер прошёл 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?