Первый признак равенства треугольников

Геометрия

Первый признак равенства треугольников

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы уже познакомились со способом сравнения треугольников путем наложения. Например, поворачивая треугольники, построенные Фалесом, на 180°, мы совмещали стороны и углы.

Но бывают ситуации, в которых этот способ неприменим. Например, если возникает необходимость сравнивать земельные участки треугольной формы.

Сегодня мы узнаем, как можно установить равенство треугольников без наложения их друг на друга.

Мы познакомились со способом определения расстояния до недоступной точки, предложенным Фалесом. Этот способ примечателен не только своей новизной по меркам древней Греции, но и тем, что Фалес впервые в истории науки понял необходимость доказательства.

Сравнить треугольники можно используя, так называемые, признаки равенства треугольников.

Чтобы убедиться в равенстве треугольников способом наложения, необходимо проверить равенство 6 соответственных элементов: 3 сторон и 3 углов треугольников.

Оказывается, что все 6 проверять нет необходимости. Мы сегодня докажем, что достаточно проверить только 3 пары элементов.

Будем утверждать, что достаточно сравнить только 3 пары элементов – 2 стороны и угол между ними.

В математике любое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой.

А сами рассуждения называются доказательством теоремы.

Рассмотрим теорему о равенстве треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Формулировка теоремы состоит из двух частей. Первая часть начинается словом «если». В ней говорится о том, что дано. Это часть называется условием теоремы.

Вторая часть теоремы начинается словом «то». В ней говорится о том, что надо доказать. Вторая часть формулировки теоремы называется её заключением.

Дано: ∆ ABC, ∆А₁В₁С₁, АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁,  А = А₁.

Доказать: ∆АВС = ∆А₁В₁С_1. 

Так как ∠А =∠А₁, то ∆АВС можно наложить на ∆А₁В₁С₁ так, что:

вершина А совместится с вершиной А₁, стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А₁С₁.

Так как АС = А₁С₁, АВ = А₁В₁, то стороны треугольников АС и А₁С_1, АВ и А₁В₁совместятся.

В частности, совместятся точки В и В_1, С и С₁. Сторона ВС совпадет со стороной В₁С_1.

∆АВС полностью совместился с ∆А₁В₁С₁.

Следовательно, ∆АВС = ∆А₁В₁С_1.

Доказанная теорема позволит нам сделать вывод о равенстве треугольников, сравнивая 3 пары элементов – по 2 сторонам и углу между ними каждого треугольника.

Такая теорема называется признаком.