Математический марафон 10 класс

ВАРИАНТ 1

В 1. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

В 2. На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в первый раз за указанный период среднесуточная температура равнялась 19 градусам.

В 3. Вычислить , если .

В 4. В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону AB, равна 4, . Найдите синус угла B.

В 5. В таблице даны тарифы на услуги трех фирм такси. Предполагается поездка длительностью 70 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?

*Если поездка продолжается меньше указанного времени, она оплачивается по стоимости минимальной поездки.

В 6. Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны и .

В 7. Вычислите значение , если , , , .

В 8. Найдите область определения функции .

В 9. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

В 10. В боковой cтенке выcокого цилиндричеcкого бака у cамого дна закреплeн кран. Поcле его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом выcота cтолба воды в нeм, выраженная в метрах, меняетcя по закону , где t – время в cекундах, прошедшее c момента открытия крана м – начальная выcота cтолба воды, – отношение площадей поперечных cечений крана и бака, а g – уcкорение cвободного падения (cчитайте м/c). Через cколько cекунд поcле открытия крана в баке оcтанетcя четверть первоначального объeма воды?

В 11. Найдите область значения функции .

В 12. Из кувшина, доверху наполненного 20 % - ным раствором соли, отлили 1 литр и затем долили водой доверху. После этого повторили проделанные действия и получили 11,25 % - ный раствор соли. Какова вместимость кувшина?

С 1. Какая из данных функций возрастает на всей области определения?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

С 2. Найдите ., если _.

C 3. Через концы отрезка CD и точку F этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках C₁, D₁ и F₁ соответственно. Найдите длину отрезка FF₁, если CC₁ равен 6 см, DD₁ равен 15 см, а FC : FD = 5 : 4. Отрезок CD не пересекает плоскость α.

ВАРИАНТ 2

В 1. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

В 2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге за каждый месяц 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей среднемесячными температурами в 2009 году.

В 3. Вычислить , если .

В 4. В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону AB, равна 4, . Найдите AD.

В 5. В таблице даны условия банковского вклада в трех различных банках. Предполагается, что клиент кладет на счет 10000 р. на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.

В 6. Площадь круга равна . Найдите длину его окружности.

В 7. Вычислите значение , если , , , .

В 8. Найдите область определения функции .

В 9. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

В 10. Деталью некоторого прибора являетcя вращающаяcя катушка. Она cоcтоит из трeх однородных cооcных цилиндров: центрального маccой  кг и радиуcа  cм, и двух боковых c маccами  кг и c радиуcами . При этом момент инерции катушки отноcительно оcи вращения, выражаемый в кг, даeтcя формулой . При каком макcимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения ? Ответ выразите в cантиметрах.

В 11. Найдите область значения функции .

В 12. Из кувшина, доверху наполненного 20 % - ным раствором соли, отлили 1 литр и затем долили водой доверху. После этого повторили проделанные действия и получили 5 % - ный раствор соли. Какова вместимость кувшина?

С 1. Какая из данных функций убывает на всей области определения?

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;.

С 2. Найдите ., если _.

С 3. Через концы отрезка BD и точку А этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках B₁, D₁ и А₁ соответственно. Найдите длину отрезка АА₁, если BB₁ равен 5 см, DD₁ равен 12 см, а AB : AD = 3 : 4. Отрезок BD не пересекает плоскость α.

ВАРИАНТ 3

В 1. Клиент взял в банке кредит 12000 рублей на год под 16 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько он должен вносить в банк ежемесячно?

В 2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде за каждый месяц 2008 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с положительной среднемесячной температурой.

В 3. Вычислить , если .

В 4. В параллелограмме ABCD , , . Найдите большую высоту параллелограмма.

В 5. Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.

Пользователь предполагает, что его трафик составит 600 Mb в месяц и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 600 Mb?

В 6. Найдите площадь S круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите .

В 7. Вычислите значение , если , , , .

В 8. Найдите область определения функции .

В 9. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

В 10. Поcле дождя уровень воды в колодце может повыcитьcя. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и раccчитывает раccтояние до воды по формуле , где h — раccтояние в метрах, t — время падения в cекундах. До дождя время падения камешков cоcтавляло 0,6 c. На cколько должен поднятьcя уровень воды поcле дождя, чтобы измеряемое время изменилоcь на 0,2 c? Ответ выразите в метрах.

В 11. Найдите область значения функции .

В 12. К 20 % - ному раствору добавили 5 килограммов соли, и он стал 36 % - ным. Сколько еще соли надо добавить, чтобы получить 60 % - ный раствор?

С 1. Какая из данных функций возрастает на всей области определения?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

С 2. Найдите , если _.

С 3. Через концы отрезка АВ и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках А₁, В₁ и С₁ соответственно. Найдите длину отрезка СС₁, если АА₁ равен 6 см, ВВ₁ равен 13 см, а AС : СВ = 2 : 5. Отрезок АВ не пересекает плоскость α.

ВАРИАНТ 4

В 1. Для приготовления вишневого варенья на 1 кг вишни нужно кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 27 кг вишни?

В 2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 2008 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура превышала 10 градусов Цельсия.

В 3. Вычислить , если .

В 4. Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Синус острого угла трапеции равен . Найдите боковую сторону.

В 5. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки протяженностью 500 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?

Цена дизельного топлива 19 руб. за литр, бензина 22 руб. за литр, газа 14 руб. за литр.

В 6. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна .

В 7. Вычислите значение , если , , ,

В 8. Найдите область определения функции .

В 9. Диагональ куба равна . Найдите его объем.

В 10. Перед отправкой тепловоз издал гудок c чаcтотой Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера чаcтота второго гудка f больше первого: она завиcит от cкороcти тепловоза по закону (Гц), где c – cкороcть звука в звука (в м/c). Человек, cтоящий на платформе, различает cигналы по тону, еcли они отличаютcя не менее чем на 10 Гц. Определите, c какой минимальной cкороcтью приближалcя к платформе тепловоз, еcли человек cмог различить cигналы, а м/c. Ответ выразите в м/c.

В 11. Найдите область значения функции .

В 12. К 25 % - ному раствору добавили 6 литров соли, и он стал 40 % - ным. Сколько еще соли надо добавить, чтобы получить 50 % - ный раствор?

С 1. Какая из данных функций убывает на всей области определения?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

С 2. Найдите ., если _.

С 3. Через концы отрезка MP и точку А этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость α в точках M₁, P₁ и А₁ соответственно. Найдите длину отрезка АА₁, если MM₁ равен 18 см, PP₁ равен 10 см, а AP : AM = 1:5. Отрезок MP не пересекает плоскость α.