Логарифмы в природе

Математические модели реальных процессов в природе и обществе «Логарифмы в природе»

Работа посвящена вопросу о применении логарифма и логарифмической спирали.

В данной работе рассмотрено уравнение логарифмической спирали, свойства спирали, отображение логарифмической спирали в природе.

Далее рассматривается связь логарифмов с яркостью звезд и громкостью шума («психофизический закон Фехнера»).

Логарифмы в природе

Майорова Ксения Николаевна

Руководитель:

Симонова Оксана Сергеевна

Уравнение логарифмической спирали

полюс

Если вращать рисунок, на котором изображено семейство логарифмических спиралей, то при вращении в одном направлении мы увидим, что спирали будут расширяться, а при вращении в противоположном направление они будут сужаться.

Если намотать на логарифмическую спираль нить, концом которой служит точка О, и начать разматывать эту нить, то второй конец нити опишет линию, равную исходной спирали. Точно так же равную спираль образуют основания перпендикуляров, опущенных из полюса на касательные к логарифмической спирали.

Эта способность логарифмической спирали оставаться неизменной при самых различных преобразованиях настолько поразила впервые изучавшего ее Якоба Бернулли, что он назвал ее spira mirabilis (чудесная спираль).

Живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом чаще всего они растут во всех направлениях — взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении.

Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам.

Поэтому раковины многих моллюсков, улиток закручены по логарифмической спирали.

Также рога таких млекопитающих, как архары (горные козлы), закручиваются по логарифмической спирали.

Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям.

Можно сказать, что логарифмическая спираль является математическим символом соотношения формы и роста.

Великий немецкий поэт Иоганн Гёте считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.

По логарифмической спирали очерчены не только раковины — в подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали и т. д.

По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Звезды, шум и логарифмы

Шум и звезды объединяются здесь потому, что и громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом — по логарифмической шкале. Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т. д. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Звезда, например, третьей величины ярче звезды первой величины в 2,53-1, т. е. в 6,25 раза. Короче говоря, оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.

Сходным образом оценивается и громкость шума.

Единицей громкости служит «бел», практически — его десятая доля, «децибел».

Громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.

Это следует из так называемого «психофизического закона Фехнера» :

величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения .

Литература:

1.Азевич А.И. « Двадцать уроков гармонии»

2. Виленкин Н.Я. «Функции в природе и технике»

3. Перельман Я.И. «Занимательная алгебра»