Курс лекций по ЕН.01 Математика

Курс лекций

по дисциплине «Математика»

Раздел 1.

Матрицы.

Лекция 1.

Введение. Определение матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрица записывается в виде

А=

Числа m и n называются порядками матрицы. При этом говорят, что матрица А имеет размер m _х n.

В матрице А= m=2, n=3.

Числа a_ij, составляющие матрицу, называются ее элементами. В записи a_ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j - номер столбца.

Виды матриц.

Если число строк матрицы не равно числу столбцов (m≠n), то матрица называется прямоугольной.

Например,

А= , В= .

Если число строк матрицы равно числу столбцов (m=n), то матрица называется квадратной.

Н апример,

Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком. Так, в последнем примере порядок матрицы А равен 3.

Р ассмотрим квадратную матрицу порядка n:

Диагональ, содержащую а₁₁, а₂₂, …, а_nn, будем называть главной, а диагональ, содержащую элементы а_1n, а_2n-1, …, а_n1, - побочной (или вспомогательной).

Среди квадратных матриц выделим матрицы, у которых отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали:

Такие матрицы называются диагональными. Например,

Если у диагональной матрицы все числа главной диагонали равны между собой, т.е. а₁₁=а₂₂= …= а_nn, то такая диагональная матрица называется скалярной.

Если в квадратной матрице все числа главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается так:

В прямоугольной матрице типа m _x n возможен случай, когда m=1. При этом получается матрица-строка:

.

В случае, когда n=1, получаем матрицу-столбец:

.

Равенство матриц.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк m и одинаковое число столбцов n и их соответствующие элементы равны: а_ij=b_ij.

Так матрицы

и равны, если а₁₁=b₁₁, а₁₂=b₁₂, а₁₃=b₁₃, а₂₁=b₂₁, а₂₂=b₂₂, а₂₃=b₂₃.

Если в матрице типа m _x n, имеющей вид

А=

п ереставить строки со столбцами, получим матрицу типа n _x m, которую будем называть транспонированной матрицей:

Линейные операции над матрицами

Суммой матриц А и В называют такую матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.

Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковый размер.

П усть

А= , В= .

Тогда сумма матриц С=А+В имеет вид

С=

Сложение матриц сводится непосредственно к сложению их элементов, являющихся числами. Поэтому на сложение матриц распространяются важнейшие свойства чисел:

1. Переместительный закон сложения: А+В=В+А, где А и В матрицы одного порядка;

2. Сочетательный закон сложения (А+В)+С=А+(В+С), где А, В, С матрицы одного порядка.

Для любой матрицы А существует матрица –А, такая, что А+(-А)=0, т.е. матрица, противоположная А.

Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kА, каждый элемент которой равен ka_ij, т.е. если

В= , то kВ= .

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

Лекция 2.

Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. (1час).

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка. Пусть

, .

Произведением этих матриц называется матрица

С = АВ= .

Чтобы найти элемент с₁₁ первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (т.е. а₁₁ и а₁₂) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В (т.е. b₁₁ и b₂₁₎ и полученные произведения сложить: с₁₁=а₁₁b₁₁+а₁₂b_21.

Чтобы найти элемент с₁₂ первой строки и второго столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (т.е. а₁₁ и а₁₂) умножить на соответствующий элемент второго столбца матрицы В (т.е. b₁₂ и b₂₂₎ и полученные произведения сложить: с₁₂=а₁₁b₁₂+а₁₂b_22.

Аналогично находятся остальные элементы.

Правило нахождения матрицы-произведения распространяется на умножение прямоугольных матриц.

Рассмотрим две матрицу А и В.

,

П роизведением этих матриц будет матрица

С=

Например:

1 )

2)

Для прямоугольных матриц справедливы следующие правила:

1. Умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

2. В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц

1. АВ≠ВА. Произведение двух матриц не подчиняется переместительному закону.

2. А(ВС)=(АВ)С (сочетательный закон).

3. (А+В)С=АС+ВС (распределительный закон).

Лекция 3.

Определитель матрицы. Свойства определителей и их вычисление.

Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков.

Пусть дана квадратная матрица второго порядка:

.

Определителем или детерминантом второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число a₁₁a₂₂- a₁₂a₂₁.

Обозначение определителя:

Определитель второго порядка записывается так:

Определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Пример вычисления определителя второго порядка.

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

О пределителем или детерминантом третьего порядка, соответствующим данной матрице, называется число

Определитель третьего порядка записывается так:

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правило Сарруса). Это правило проиллюстрировано на схеме:

Пример вычисления определителя третьего порядка.

Основные свойства определителей.

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т.е. транспонировать):
   = .

Например,

= =3

Это свойство называется свойством равноправности строк и столбцов.

1. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный:
   = -

Например, =1 .

Поменяв местами столбцы, получим =0 .

1. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.

=k

=6

= 2 = 2 3

1. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.

Например, =0.

1. Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины.

Лекция 4.

Миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица

Минор

Пусть дана квадратная матрица А, n - ого порядка.

Минором некоторого элемента а_ij , определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент а_ij.

Обозначается М_ij.

Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 - его порядка:

  

, тогда минором М₁₂, соответствующим элементу а₁₂, будет определитель:

 

 

Алгебраические дополнения

 

Алгебраическим дополнением элемента а_ij называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается А_ij.

А_ij = (-1)^i+j × М_ij.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов некоторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения.

Пример: Найти определитель матрицы через разложение по элементам второго столбца.

 

 Лекция 5.

Метод Крамера

При решении систем линейных уравнений методом Крамера выполняются следующие шаги.

‪1.‬Записываем основную (обязательно квадратную) матрицу, состоящую из коэффициентов при переменных системы линейных уравнений, а также отдельно столбец из свободных членов.

‪2.‬Находим определитель этой матрицы - основной.

‪3.‬Для нахождения i-ого корня по правилу Крамера подставляем столбец свободных членов в основную матрицу на i-ое место (заменяя исходный столбец матрицы) и находим ее определитель. Находим отношение полученного определителя к основному, это и есть решение. Проделываем данную операцию для каждой переменной.

 

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными.

В данной системе составим определитель и вычислим его.

Составить и вычислить следующие определители

 

Воспользоваться формулами Крамера.

 

Пример. Решить систему уравнений методом Крамера

Найдем основной определитель матрицы

Найдем дополнительные определители

 

 

Ответ: (1/2; 2; 3/2)

 

Лекция 6.

Метод Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной.

При решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности

Пусть есть система n линейных уравнений с n неизвестными:

Метод Гаусса заключается в приведении с помощью тождественных преобразований расширенной матрицы системы

 

к матрице вида

.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса

x + y - 3z = 2,

3x - 2y + z = - 1,

2x + y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x + y - 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3.

Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2.

Далее из первого уравнения получим x = - 0,7.

Ответ: (-1,3; -1,2; -0,7).

 

  

Раздел 2.

Дифференциальное и интегральное исчисление

Лекция 7.

Числовые последовательности. Предел функции.

Пусть дано множество чисел, расположенных в определенном порядке, например:

2; 4; 8; 16; 32; 64;…2ⁿ; …; (1)

Тогда каждому числу этого множества можно приписать номер места, которое оно занимает.

Так, число 2 занимает первое место, 4 - второе место, 8 - третье место и т.д.

Определение: Числовой последовательностью или просто последовательностью называется занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров.

Совокупность чисел (1) служит примером последовательности.

Последовательность можно записать в общем виде следующим образом:

а_1, а_2, а_3, а_{4, ….,} а_{n, …}, где а_n называется общим членом последовательности.

Бесконечно малая величина.

Возьмем переменную величину , принимающую последовательно следующие значения:

(2).

По мере увеличения номера места, занимаемого членами этих последовательностей, абсолютная величина уменьшается, и какое бы малое положительное число мы не брали, в последовательности найдется число, которое будет меньше выбранного. Каждый последующий член будет меньше предыдущего.

В этом случае говорят, что величина неограниченно приближается к нулю, или стремиться к нулю. Обозначение: 0. Такие последовательности называются бесконечно малыми.

Определение: Переменная величина называется бесконечно малой, если она изменяется так, что, какое бы малое положительное число  мы не взяли, в последовательности найдется число, абсолютная величина которого будет меньше .

Последовательность (2) является бесконечно малой.

Бесконечно большая величина.

Возьмем переменную величину y, принимающую последовательно следующие значения:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, (3).

По мере увеличения номера места, занимаемого членами этих последовательностей, абсолютная величина у увеличивается, и какое бы большое положительное число мы не брали, в последовательности найдется число, которое будет больше выбранного. Каждый последующий член будет больше предыдущего.

В этом случае говорят, что величина у стремится к бесконечности. Обозначение: у . Такие последовательности называются бесконечно большими.

Определение: Переменная величина у называется бесконечно большой, если она изменяется так, что, какое бы большое положительное число  мы не взяли, в последовательности найдется число, абсолютная величина которого будет больше .

Последовательность (3) является бесконечно большой.

Связь бесконечно малой величины с бесконечно большой.

Теорема 1. Если у - бесконечно большая величина (т.е. стремиться к бесконечности), то обратная ей величина - бесконечно малая (т.е. стремиться к нулю).

Теорема 2. Если  - бесконечно малая величина (т.е. стремиться к нулю), то обратная ей величина - бесконечно большая (т.е. стремиться к бесконечности).

Например:

1)

у: 1, 10, 100, 1000, 10000, …, т.е. бесконечно большая, тогда

: , т.е. бесконечно малая.

2)

: , …, т.е. бесконечно малая, тогда

: 2; 4; 4; 6; 8; …, т.е. бесконечно большая.

Понятие предела последовательности.

Определение: Постоянная А называется пределом переменной х, если разность между ними есть величина бесконечно малая, т.е.

lim х=А, если х - А=. (0, т.е. бесконечно малая).

Замечание:

1) Если 0, то lim =0.

2) Если у, то lim у=.

Теорема 1. Переменная величина не может иметь двух различных пределов.

(если lim х = А, lim х = В, то А = В).

Теорема 2. Предел суммы конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен сумме пределов этих переменных.

lim (х + у) = lim х + lim у.

Теорема 3. Предел разности конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен разности пределов этих переменных.

lim (х - у) = lim х - lim у.

Теорема 4.Предел произведения конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен произведению пределов этих переменных.

lim (ху) = lim х  lim у.

Следствие 1.Предел произведения постоянной величины на переменную, равен произведению постоянной величины на предел переменной.

lim (Су) = С lim у, С –постоянная величина.

Т.е. постоянную величину можно выносить за знак предела.

Следствие 2. Предел степени переменной, равен степени предела этой переменной.

lim уⁿ = (lim у)ⁿ.

Теорема 5. Предел частного двух переменных величин, равен частному пределов этих переменных, если предел делителя не равен нулю.

lim ( ) = , lim у≠0.

Лекция 8.

Вычисление пределов

Предел функции.

О пределе функции можно говорить лишь в том случае, если ее аргумент к чему-то стремиться. Без этого условия вопрос о пределе функции не имеет смысла.

Пусть дана функция у=х² – 4. Положим, что х3.

Найти .

Решение: Применяя теорему 3 и следствие 2 теоремы 4 о пределах, получим:

= ( - 3² - 4=5.

Примеры решений типовых заданий.

Задание 1. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

Задание 2. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.

или

Задание 3. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 2.

Задание 4. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому как это сделано в примере 2.

Задание 5. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение, стоящее в знаменателе на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

Задание 6. Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом .

 

Задание 7. Найти предел функции

Решение: В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется.

Имеем , тогда

Лекция 9.

Непрерывность функции. Точки разрыва функции.

Представление о непрерывности функции интуитивно связано с тем, что её графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия.

Пусть дана функция y = f(x).

Определение: Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена в этой точке и в некоторой окрестности содержащей x₀ и

(1)

Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точке x₀, если выполнены 3 условия:

1. она определена в точке x₀ и в некоторой её окрестности;

2. имеет предел при x → x₀;

3. этот предел равен значению функции в точке x₀.

Формулу (1) можно записать в виде , т.к. . Это означает, что для того, чтобы найти предел непрерывной функции при

x → x₀, достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента x его значение x₀.

Пример: Докажем, что функция y = 3x² непрерывна в произвольной точке x₀. Для этого найдем .

Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (a; b), где a

Непрерывные функции обладают следующими свойствами.

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то их сумма φ(x) = f(x) + g(x) также есть непрерывная функция в точке x₀.

Эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 2. Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.

Теорема 3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.

Точки разрыва

Если рассмотреть график функции в окрестности точки x= 0, то ясно видно, что он как бы “разрывается” на отдельные кривые.

Точка называется точкой разрыва функции y = f(x), если она принадлежит области определения функции или её границе и не является точкой непрерывности.

В этом случае говорят, что при x= x₀ функция разрывна. Это может произойти, если в точке x0 функция не определена или не существует предел , или если предел существует, но .

Точки разрыва функции можно разбить на два типа.

Точка разрыва x₀ функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют оба односторонних конечных предела и , но они не равны между собой или не равны значению функции в точке x0, т.е. f(x₀). Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.

Примеры: В данном примере точка х=3 является точкой разрыва первого рода.

В примере 2 точка разрыва является точкой разрыва второго рода.

Лекция 10.

Производная функция

Определение: Производная функции y=f(x) по аргументу называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx при стремлении аргумента к нулю. (Δx→0),т.е.

y′=

Определение: Нахождение производной функции называется дифференцированием.

Схема вычисления производной:

1. находим

2. находим

3. находим отношение

4. находим

Пример: Найти производную функцию

1)

2)

3)

4)

Основные формулы дифференцирования

1. производная от постоянной величины

,

1. ,

2. производная суммы функций

1. производная произведения

1. производная произведения постоянной величины на функцию

(U-функция)

1. производная частного ,

2. производная степени ,

3. 

4. 

5. 

Лекция 11.

Исследование функции с помощью производной

Возрастание и убывание функции

Определение: Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если большему значению аргумента соответствует большие значения функции (меньшее значение).

Теорема: Если производная функции у = f(x) в данном промежутке значений х положительна, то функция в этом промежутке возрастает, а если производная отрицательная, то функция убывает.

Определение: Те значения аргумента, при которых значение функции является наибольшим или наименьшим называется точками максимума или точками минимума.

Точка максимума (max) служит границей перехода от возрастания функции к её убыванию, а точка минимума (min) – границей от убывания к возрастанию.

Правило нахождения max и min:

1. найти у' (х)

2. Приравнять производную функции к нулю (у'=0). Найти корни полученного уравнения, т.е. найти х_1, х_2, х_3,… и т.д.

3. Расположить значение х_{1 ,}х_2, х_3,… на числовой оси в порядке возрастания.

х₁ х₂ х₃

Определить знак производной в каждом из полученных промежутков. (Взять число из промежутка и подставить в производную вместо х)

+ -

а ) Если х , то х – max

б ) Если - +

х , то х – min

в ) Если - +

х или + +

х ,

то х ни max, ни min

4) Найти максимальное и минимальное значение функции, то есть вычислить у(х₁), у(х₂)…

Пример: Исследовать функцию у=х²-1 на max и min

1) у' = (х²-1)' = 2х

2)у'=0, то есть 2х=0 х=0

3) - +

-1 0 1 х=0 min

у' (-1) = 2*(-1) = -2

у' (1) = 2*(1) = 20

1. у (0) = 0² -1 = -1

Пример: Исследовать у = ³ - ² -4х + 6 на max и min

1) у' = ( ³ - ² -4х + 6)'= у = * 3х² - * 2х - 4= х² - 3х – 4

2) у'=0, х² - 3х – 4 = 0 х₁х₂ = х₁₌

3) х₂=

max min

+ - +

-2 -1 0 4 5

у'(-2) = (-2)² -3 * (-2)- 4 = 4 + 6 – 4 = 60

у'(0)= 0²- 3 * 0-4 = 4

у'(5)= 5²-3*5-4 = 25-15-4 = 60

х₁= 4 - min

х₂= -1- max

4) у(-1) = (-1)³ - (-1)² – 4 (-1) + 6 = - - + 4 +6 = - + = -

у(4) = * 4³ - * 4² – 4*4 + 6 =

Лекция 12.

Применение производной

Выпуклость и вогнутость функции

y y = f (x) y y = f (x)

выпуклая x

0 вогнутая x

Теорема: Если вторая производная функции y = F (x) (y) в данном промежутке значение положительна, то кривая вогнута, если отрицательна, то кривая выпукла

+ -

Определение: Точкой перегиба кривой называется точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой.

Теорема: Если при данном значении x вторая производная функция y = f(x)

равна нулю и при переходе аргумента через данное значение x меняет знак, то при этом график функции имеет точку перегиба.

Правило нахождения точки перегиба

1. найти y”

2. Приравнять y’’ к нулю (y” = 0) и решить полученное уравнение,

т.е. найти корни x_1, x_2, x₃ ….

3) расположить корни в порядке возрастания на числовой оси

x₁ x₂ x₃

Определить знак второй производной в полученных промежутках.

Если переходя через точку, y’’ изменила знак на промежуточный, то это точка есть точка перегиба. Если знак не изменился, то нет точки перегиба.

4)Найти y (x₁), y (x₂), y (x₃)….

Пример. Найти точку перегиба кривой y = x³

1. у’= 3x², y’ = 6x

2. y” = 0, 6x = 0 = x = 0

3)

- + y”(-1)=(-1) * 6 = - 6

y”(1)=1 * 6 = 6 0

-1 0 -1

- +

( . ) 0 – т. перегиба

4)y(0) = 3 * 0² = 0

Лекция 13.

Неопределенный интеграл. Вычисление неопределенного интеграла методом подстановки.

Определение: Интегрирование – это нахождение функций по ее производной.

Опр.: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если F’(x)= f(x).

Например: F(x) = - первообразная функция для функции f(x) =x , т.к. F’(x) =f(x) ( )’ = )^.

Теорема: Если F(x) первообразная для функции f(x), то и любая функция вида F(x)+c, где с – произвольная, будет первообразной для f(x).

(F(x) +c)’= F’(x) +c’= f(x) +0= f(x)

Определение: Совокупность всех первообразных функций F(x)+c для функций f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается

f(x) – подынтегральная функция

f(x) dx – подынтегральное выражение

F(x) – первообразная функция

с - произвольная постоянная

Например: =

F(x) = ’ =

Свойства неопределенного интеграла:

1 Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральное функции, т.е. ( )’= f(x)

2 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

, где - постоянный множитель

3 Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.

Основные формулы интегрирования:

1)

2) ; n

3)

4) ,

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

Интегрирование методом подстановки

Если интеграл трудно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то можно использовать метод подстановки.

Сущность заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется.

Схема вычисления методом подстановки

1. часть подынтегральной функции заменить новой переменной

2. найти дифференциал от обеих частей замены

3. все подынтегральное выражение выразить через новую переменную

4. найти полученный интеграл

5. сделать обратную замену.

Например: dx = =

Лекция 14.

Интегрирование по частям

Одним из распространенных метод интегрирования является метод интегрирования по частям. Для получения формулы найдем дифференциал от произведения двух функций:

. Интегрируя обе части этого равенства, получим: . Откуда . Следовательно: . Вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла , при условии, что последний будет проще исходного.

Вычисление интегралов по формуле называется интегрированием по частям.

Большая часть интегралов, которые вычисляются посредством интегрирования по частям, может быть разбита на три группы:

1. интегралы представлены в виде , , ,

и т.д.

1. интегралы представлены в виде , ,

и т.д.

1. интегралы представлены в виде , , ,

производится двукратное интегрирование по частям и решается уравнение относительно интеграла.

Примеры:

1. Интеграл, относящийся к первому виду.

,

1. Интеграл, относящийся ко второму виду.

1. Интеграл, относящийся к третьему виду.

В результате двойного интегрирования по частям получили исходный интеграл. Обозначим его за I. Тогда получаем уравнение:

Следовательно: +С.

Также интегрирование по частям применяется для некоторых сложных функций:

Возможны комбинации методов интегрирования по частям и подстановки.

Лекция 15.

Определенный интеграл

Определение: Криволинейная трапеция это фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу осью OX, сбоку прямыми x= a, x=b

Определение: определенный интеграл от функции f(x) на отрезке это площадь криволинейной трапеции aABв

f (x) dx y В

y=f(x)

А

о а в х

Число а называется нижним пределом интегрирования число в называется верхним пределом интегрирования.

Отрезок - отрезком интегрирования.

Основные свойства определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница (формула двойной подстановки)

(f непрерывна; F - первообразная для f).

Вычислить интеграл .

Решение

Вычислить интеграл .

Решение

Лекция 16.

Применение интеграл

Вычисление геометрических величин с помощью определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции

Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле

Рис.1		Рис.2

Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой

Например:

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми и . Решение. Сначала определим точки пересечения двух кривых (рисунок 3).       Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Следовательно, площадь фигуры равна       Рис.3 Рис.4

Например:

Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций и . Решение. Найдем координаты точек пересечения кривых (рисунок 4).       Данная область ограничивается сверху параболой , а снизу - прямой линией . Следовательно, площадь этой области равна

Пример . Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y = x² и прямыми

y = 0,  x = 1,  x = 2  ( рис.9 ) .

Раздел 3.

Элементы теории вероятностей, комбинаторики и математической статистики

Лекция 17

Элементы комбинаторики

Рассмотрим некоторое множество Х, состоящее из n элементов . Будем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножества из k элементов.

Определение: Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор элементов множества Х.

Если выбор элементов множества из Х происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по k находится по формуле (размещения с повторениями).

Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k обозначается и определяется равенством

(размещения без повторений).

Пример. Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.

Решение. Если цифры могут повторяться, то количество трехзначных чисел будет . Если цифры не повторяются, то .

Пример. Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?

Решение. Расписание на каждый день может отличаться либо предметами, либо порядком расположения этих предметов, поэтому имеем размещения:

Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно

Пример. 30 книг стоит на книжной полке, из них 27 различных книг и одного автора три книги. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

Решение. Будем считать три книги одного автора за одну книгу, тогда число перестановок будет . А три книги можно переставлять между собой способами, тогда по правилу произведения имеем, что искомое число способов равно: * =3!*28!

Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество (порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается и равно

.

Справедливы равенства: , , .

Пример. В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Так как порядок студентов не важен, используем формулу для числа сочетаний: .

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.

Пример. Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в своем гардеробе четыре блузки, пять юбок и трое туфель. Сколько нарядов может иметь студентка?

Решение. Пусть сначала студентка выбирает блузку. Этот выбор может быть совершен четырьмя способами, так как студентка имеет четыре блузки, затем пятью способами произойдет выбор юбки и тремя способами выбор туфель. По принципу умножения получается 4*5*3=60 нарядов (комбинаций).

Лекция 18

Случайное событие, его частота и вероятность.

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события.

Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.

Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.

Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

Пример. В урне находится 8 пронумерованных шаров (на каждом шаре поставлено по одной цифре от 1 до 8). Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (или цифрой 2 или цифрой 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. Появление шара с цифрой 4 (или цифрой 5, 6, 7, 8) есть событие, благоприятствующее появлению черного шара.

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству .

Пример. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?

Решение. Пусть событие А = (Номер вынутого шара не превосходит 10). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10. Следовательно, Р(А)=1. Событие А достоверное.

Пример. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

Решение. Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов: .

Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно .

Искомая вероятность .

Пример. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Решение. Так как синих шаров в урне нет, то m=0, n=15. Следовательно, искомая вероятность р=0. Событие, заключающееся в вынимании синего шара, невозможное.

Пример. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Решение. Количество элементарных исходов (количество карт) n=36. Событие А = (Появление карты червовой масти). Число случаев, благоприятствующих появлению события А, m=9. Следовательно,

.

Пример. В кабинете работают 6 мужчин и 4 женщины. Для переезда наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц три женщины.

Решение. Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 7 человек из 10, т.е. .

Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: трех женщин можно выбрать из четырех способами; при этом остальные четыре человека должны быть мужчинами, их можно отобрать способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно .

Искомая вероятность

Лекция 19

Основные понятия и задачи математической статистики

Определение. Раздел прикладной математики, в котором исследуются количественные характеристики массовых случайных событий или явлений, называется математической статистикой.

Определение. Математическая статистика – наука о математических методах систематизации, обработки и использовании статистических данных для научных и практических выводов.

Общепринятой сейчас является точка зрения на математическую статистику как на науку об общих способах обработки результатов эксперимента. Решая эти проблемы, каким должен обладать эксперимент, чтобы сделанные на его основании суждения были правильными.

Задачи математической статистики и значение ошибки в мире науки

Первая задача математической статистики – указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирования эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ). Её можно определить как науку о принятии решений в условии неопределённости.

Задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных.

При изучении массового случайного явления предполагается, что все испытания производятся при одинаковых условиях, т.е. группа основных факторов, поддающихся учёту (измерению) и оказывающих существенное влияние на результат испытания, сохраняет по возможности одинаковые значения.

Случайные факторы искажают результат, который получился бы при наличии только основных факторов, делают его случайным. Отклонение результата каждого испытания от истинного называется ошибкой наблюдения, которая представляет собой случайную величину. Необходимо различать систематические ошибки и случайные.

Определение. Под систематической ошибкой понимается ошибка, повторяющаяся и одинаковая для всех испытаний. Она обычно связана с неправильным ведением эксперимента.

Определение. Под случайными ошибками понимаются ошибки, возникающие под влиянием случайных факторов и меняющихся случайным образом от опыта к опыту.

Объектами изучения в математической статистике могут быть качественные или количественные признаки изучаемого явления или процесса.

В случае качественного признака подсчитывается число появлений этого признака в рассматриваемой серии опытов; это число и представляет собой изучаемую (дискретную) случайную величину. Примерами качественных признаков могут служить дефекты на готовой детали, демографические данные и т.д. Если признак является количественным, то в опыте производится прямое или косвенное измерения путём сравнения с некоторым эталоном - единицей измерения – с помощью различных измерительных приборов. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали.

Основные определения

Значительная часть математической статистики связана с необходимостью описать большую совокупность объектов.

Определение. Всю совокупность объектов, подлежащих изучению, называют генеральной совокупностью.

Генеральной совокупностью могут быть всё население страны, месячная продукция завода, популяция рыб, живущих в данном водоёме и т.д.

Определение. Та часть объектов, которая попала на проверку, исследование и т.п., называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Определение. Число элементов в генеральной совокупности и выборке называется их объёмами.

Определение. Различные значения случайной величины называются вариантами.

Определение. Вариационным рядом называется ряд, расположенный в порядке возрастания (или убывания) вариантов с соответствующими им частотами (частостями).

При изучении вариационных рядов наряду с понятиями частоты используется понятие накопленной частоты. Накопленные частоты (частости) для каждого интервала находятся последовательным суммированием частот всех предшествующих интервалов.

Определение. Накопление частот или частостей называют кумуляцией. Кумулировать можно частоты вариант и интервалов.

Характеристики ряда могут быть количественные и качественные.

Количественные (вариационные) характеристики – это характеристики, которые можно выразить числами. Их подразделяются на дискретные и непрерывные.

Качественные (атрибутивные) характеристики – это характеристики, которые не выражаются числами. Непрерывные переменные – это переменные, которые выражаются действительными числами.

Дискретные переменные – это переменные, которые выражаются только целыми числами.

Выборки характеризуются центральными тенденциями: средним значением, модой и медианой. Средним значением выборки называют среднее арифметическое всех её значений. Мода выборки – те её значения, которые встречаются чаще всего. Медиана выборки – это число, “разделяющее” пополам упорядоченную совокупность всех значений выборки.

Лекция 20

Комплексные числа

Комплексные числа являются расширением множества действительных чисел.

1. Понятие мнимой единицы

Допустим, что существует такое число, квадрат которого равен – 1. Обозначим это число буквой i; тогда можно записать: i² = –1.

Число i будем называть мнимой единицей (i – начальная буква французского слова imaginaire – «мнимый»), а предыдущее равенство будем считать определением мнимой единицы.

Из равенства i² = –1 находим

Введение мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать корни квадратные из отрицательных чисел.

Например,

2. Степени мнимой единицы

Рассмотрим степени мнимой единицы:

i;
i²= –1;
i³=i²*i= (– 1)i= –i;
i⁴=i³*i= –i*i= – i² = – (– 1) = 1;
i⁵ = i⁴*i = 1*i = i;
i⁶ = i⁵*i = i*i = i² = – 1;
i⁷ = i⁶*i = (– 1)*i = – i;
i⁸ = i⁷*i = – i*i = 1;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Если выписать все значения степеней числа i, то мы получим такую последовательность: i, – 1, – i, 1, i, – 1, – i, 1 и т. д. Легко видеть, что значения степеней числа i повторяются с периодом, равным 4.

Так, i = i, i² = – 1, i³ = – i, i⁴ = 1, i⁵ = i, i⁶ = – 1, i⁷ = – i, i⁸ = 1, i⁹ = i, i¹⁰ = – 1, i¹¹ = – i, i¹² = 1.

Таким образом, если показатель степени числа i делится на 4, то значение степени равно 1; если при делении показателя степени на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i; если при делении показателя степени на 4 получается остаток 2, то значение степени равно – 1; наконец, если при делении на 4 остаток равен 3, то значение степени равно – i. Пользуясь этим, можно вычислять любую степень числа i.

Пример 1. Найти: i²⁸; i³³; i¹³⁵.

Решение. Имеем 28 =4*7 (нет остатка); 33 = 4*8 + 1; 135 = 4*33 + 3.

Соответственно получим i²⁸ = 1; i³³ = i; i¹³⁵ = – i.

3. Определение комплексного числа

Мы знакомы с действительными числами и с мнимыми единицами. Рассмотрим теперь числа нового вида.

Определение 1. 

Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, будем называть комплексными.

Число a будем назвать действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части.

Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равными нулю. Если a = 0, то комплексное число bi называется чисто мнимым. Если b = 0, то комплексное число a + bi равно a и называется действительным. Если a = 0 и b = 0 одновременно, то комплексное число 0 + 0i равно нулю. Итак, мы получили, что действительные числа и чисто мнимые числа представляют собой частные случаи комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Два комплексных числа a + bi и c + di условились считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a + bi = c + di, если a = c и b = d.

Пример 2. Найти x и y из равенства:

а) 3y + 5xi = 15 – 7i;

б) (2x + 3y) + (x – y)i = 7 + 6i.

Решение. а) Согласно условию равенства комплексных чисел имеем 3y = 15, 5x = – 7. Отсюда 

б) Из условия равенства комплексных чисел следует 

Умножив второе уравнение на 3 и сложив результат с первым уравнением, имеем 5x = 25, т. е. x = 5. Подставим это значение во второе уравнение: 5 – y = 6, откуда y = – 1. Итак, получаем ответ: x = 5, y = – 1.

4. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Пример 3. Даны комплексные числа z₁ = 2 + 3i, z₂ = 5 – 7i. Найти:

а) z₁ + z₂;    б) z₁ – z₂;    в) z₁z₂.

Решение.

а) z₁ + z₂ = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;

б) z₁ – z₂ = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;

в) z₁z₂ = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i² =  10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31 + i 
(здесь учтено, что i² = – 1).

Пример 4. Выполнить действия:

а) (2 + 3i)²;    б) (3 – 5i)²;    

Решение.

а) (2 + 3i)² = 4 + 2*2*3i + 9i² = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;

б) (3 – 5i)² = 9 – 2*3*5i + 25i² = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i;

Рассмотрим теперь применение формулы

(a + b)(a – b) = a² – b².     (*)

Пример 5. Выполнить действия:

а) (5 + 3i)(5 – 3i);   

б) (2 + 5i)(2 – 5i);

в) (1 + i)(1 – i).

Решение.

а) (5 + 3i)(5 – 3i) = 5² – (3i)² = 25 – 9i² = 25 + 9 = 34;

б) (2 + 5i)(2 – 5i) = 2² – (5i)² = 4 + 25 = 29;

в) (1 + i)(1 – i) = 1² – i² = 1 + 1 = 2.

Определение 2. 

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

Мы видим, что произведение двух сопряженных чисел всегда равно действительному числу. Воспользуемся этим свойством для выполнения деления двух комплексных чисел. Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.

Пример 6. Выполнить деление:

Решение.

а) Имеем

Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:

(2 + 3i)(5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i² = – 11 + 29i;
(5 – 7i)(5 + 7i) = 25 – 49i² = 25 + 49 = 74.

Итак,

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

Пример 7. Решите уравнение:

а) x² – 6x + 13 = 0;    б) 9x² + 12x + 29 = 0.

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле

D = b² – 4ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то

D = (– 6)2 – 4*1*13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,

D = b² – 4ac =12² – 4*9*29 = 144 – 1044 = – 900,

Находим корни уравнения:

Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.

Лекция 21

Множества и операции над ними

Опр: Под множеством понимают совокупность объектов любой природы, обладающих общим свойством.

Примеры:

1. Множество студентов в группе;

2. Множество книг на полке;

3. Множество людей в мире;

4. Множество действительных чисел.

Опр: Объекты, составляющие множество, называются его элементами.

Множества будем обозначать прописными буквами латинского алфавита A, B, C,…, а элементы множеств – строчными a, b,c, ….

Запись a A означает, что элемент a принадлежит множеству A. Запись a A означает, что элемент a не принадлежит множеству A.

Опр: Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, из бесконечного числа элементов – бесконечным.

Опр: Множество, не имеющее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается .

Опр: Если каждый элемент множества А есть элемент множества В, то говорят, что множество А есть подмножество множества В, и пишут А В.

Пример:

Пусть А= , В= . В А.

Способы задания множеств

Существует три способа задания множеств.

1. Перечислением его элементов.
   Так можно задать лишь конечные множества.
   Пример: А= .

2. Описанием характеристических свойств, которыми обладают его элементы.
   Пример: А= - множество натуральных чисел, делящихся на 2.

3. Порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множества из уже имеющихся элементов либо других объектов. В этом случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры.
   Пример: Задать с помощью порождающей процедуры множество А всех четных чисел, не превышающих 100: А= .

Операции над множествами

Опр: Универсальным множеством называется множество всех элементов, которые могут встретиться в данном исследовании.

Опр: Объединением двух множеств А и В (А В) называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В:

А В= .

А В

Опр: Пересечением двух множеств А и В (А В) называется множество, состоящее из элементов, принадлежащее и множеству А, и множеству В.

А В= .

А В

Опр: Дополнением (до ) множества А ( ) называется множество всех элементов, не принадлежащих А (но принадлежащих ).

А

Опр: Разностью множеств А и В (обозначается А\В) называется множество тех элементов множества А, которые не содержатся в множестве В.

А\В= .

А В

А\В

Опр: Число элементов конечного множества называется его мощностью и обозначается m(А).