Комбинаторные задачи

КОМБИНАТОРНЫЕ задачи

5 класс

Определение

Комбинаторикой называют область математики, изучающую вопросы о числе различных вариантов наборов (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.

Т.е. – это наука, которая занимается решением задач на перебор всех возможных вариантов

Определение

Комбинаторными задачами называются такие задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать количество таких комбинаций.

Способы решения комбинаторных задач

• Перебор вариантов
• Дерево возможных вариантов
• По правилу умножения (в 9 классе)

Чтобы процесс перебора возможных вариантов был удобным и наглядным, делают это таблицей или схемой.

Способы решения ( перебор вариантов и дерево возможных вариантов ) применяют тогда, когда элементов перебора немного.

Например

На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс , а запить их он может кофе, соком или кефиром.

Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Решение

Ответ: 12 вар.

Например

Из цифр 2 , 4 и 7 надо составить трёхзначное число , в котором ни одна цифра не может повторятся более двух раз.

Составим дерево решений (дерево возможных вариантов) – это схема, графически отражающая условие задачи и ход рассуждений.

Решение

2

4 7 2 4 7 2 4 7

2 4

2 7

2 2

224

227

242

272

244

277

274

247

Ответ: всего 8 чисел

Задача. Одноклассницы Оля, Валя и Катя дежурят по школе. Сколькими способами классный руководитель может расставить девочек по одной на каждом из трёх этажей школы?

Решение.

составим схему – дерево возможных вариантов (см. стр. 161)

Или просто переберём: ОВК;ОКВ; ВОК;ВКО; КОВ;КВО

Ответ: 6 вариантов

Задача. При встрече 4 приятеля обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Решение. Назовём приятелей А; В; С и D .

Составим схему

А

В

D

С

Ответ: 6 вариантов

Задача. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 1; 2 и 3 (цифры могут повторятся)

Решение . Двузначное число (цифры могут повторятся)

Первая цифра 1 2 3

Вторая цифра 1 2 3 1 2 3 1 2 3

Варианты числа: 11; 12; 13; 21; 22; 23; 31; 32; 33

Ответ: 9 чисел

Задача. Сколько двузначных чисел, все цифры которых различны, можно составить из цифр 0; 1 и 2?

Решение . Двузначное число (цифры не могут повторятся)

Первая цифра 1 2

Вторая цифра 0 2 0 1

Варианты числа: 10; 12; 20; 21

Ответ: 4 числа

Задача. Запишите все 3-хзначные числа, в записи которых используются только цифры 3; 4 и 6 ( цифры не могут повторятся )

Решение . трёхзначное число (цифры не могут повторятся)

Первая цифра 3 4 6

Вторая цифра 4 6 3 6 3 4

Третья цифра 6 4 6 3 4 3

Назовите числа:

Ответ: 6 чисел

Задача. У ослика Иа-Иа есть 3 надувных шарика: красный, зелёный и жёлтый. Он хочет подарить по одному шарику своим друзьям: Винни-Пуху, Пятачку и Кролику. Сколько есть вариантов и Иа-Иа?

шарики

друзья

красный

Винни-Пух

красный

зелёный

Пятачок

Кролик

жёлтый

зелёный

зелёный

жёлтый

жёлтый

жёлтый

жёлтый

зелёный

красный

красный

красный

зелёный

жёлтый

зелёный

красный

Решение.

Ответ: 6 вариантов

Задача. В футбольном турнире участвовали команды 5 «А», 5 «Б» и 5 «В» классов. Сколько существует способов распределения 1-го и 2-го мест среди этих команд?

Решение.

Команды 5 «А» 5 «Б» 5 «В»

1 место + - -

2 место - + -

2 место - - +

Значит: если 5 «А» займёт 1 место, то - 2 варианта

Аналогично, если 5 «Б» займёт 1 место, то - 2 варианта

если 5 «В» займёт 1 место, то ещё - 2 варианта

Ответ: 6 спос.

Решить самостоятельно

Задача. Запишите все 3-хзначные числа, в записи которых используются только цифры 4; 7 и 0 ( цифры не могут повторятся )

Ответ: ??? чисел

Решить самостоятельно

Задача. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр (цифры могут повторяться):

а) 1 и 2 б) 0 и 1

Ответ: ??? чисел

• Домашнее задание: §24,

№ 646, 648, 652.