![Основы алгебры векторов](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_0.jpg)
- Основы алгебры векторов
![Вектором называется направленный](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_1.jpg)
- Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:
![Уильям Гамильтон](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_2.jpg)
Уильям Гамильтон
- Гораздо раньше векторов в науку были введены кватернионы. Эти и в самом деле странные величины придумал Гамильтон.
![Жозеф Луи Лагранж](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_3.jpg)
Жозеф Луи Лагранж
- Создатели квантовой механики очень обязаны трудам Гамильтона и Лагранжа бывших не только физиками, но и превосходными математиками.
![КВАТЕРНИОН](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_4.jpg)
КВАТЕРНИОН
- Кватернион (выражаемый с помощью четверки чисел) и обычный вещественный вектор — совершенно разные понятия.
- В XIX в. его появление было преждевременным
![Лорд Кельвин](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_5.jpg)
Лорд Кельвин
- Кватернион исследовали известные английские ученые Тэйт и лорд Кельвин. Последнему принадлежит большая книга «Кватернионы».
![Гиббс](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_6.jpg)
Гиббс
- Несколько позже Гамильтона жил известный вам в другой связи американский ученый Гиббс.
![Прообраз вектора у Гиббса](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_7.jpg)
Прообраз вектора у Гиббса
- Сохранились записи лекций, прочитанных Гиббсом около 1880 г. в Йельском университете. Хотя векторы и не обозначались в них с помощью жирных букв, но там дано определение скалярного и векторного произведений и введены символы
![Тейт](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_8.jpg)
Тейт
- Идеи Гиббса об использовании векторов не получили немедленного признания.
- Например, английский ученый Тейт утверждал, что пользоваться векторами неудобно
![Нам это удивительно, мы, напротив, не видим, зачем нужны кватернионы, которыми увлекался Тейт, где они могут найти применение? Правда, с появлением квантовой механики некоторые прежде непонятные величины приобретают важное значение.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_9.jpg)
- Нам это удивительно, мы, напротив, не видим, зачем нужны кватернионы, которыми увлекался Тейт, где они могут найти применение?
- Правда, с появлением квантовой механики некоторые прежде непонятные величины приобретают важное значение.
![Гамильтон придумывает заумную вещь (кватернионы) и возвращается к своим обычным делам А спустя некоторое время после странного изобретения Гамильтона на сцене появились более естественные и удобные, чем кватернионы, величины — векторы.](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_10.jpg)
- Гамильтон придумывает заумную вещь (кватернионы) и возвращается к своим обычным делам
- А спустя некоторое время после странного изобретения Гамильтона на сцене появились более естественные и удобные, чем кватернионы, величины — векторы.
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_11.jpg)
![Обозначение векторов](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_12.jpg)
Обозначение векторов
- Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами: и так далее.
- При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.
![Обозначение векторов](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_13.jpg)
Обозначение векторов
- Векторы также записывают маленькими латинскими буквами: В частности, наш вектор можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .
![Модуль вектора](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_14.jpg)
Модуль вектора
- Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка АВ .
- Длина вектора обозначается знаком модуля
![Нулевой вектор](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_15.jpg)
Нулевой вектор
- Нулевой вектор–это вектор, у которого вектора и начало совпадают.
- Обозначается
- Длина нулевого вектора равна нулю
![Свободный вектор-](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_16.jpg)
Свободный вектор-
- это вектор, который можно отложить от любой точки :
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_17.jpg)
![Действия с векторами](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_18.jpg)
Действия с векторами
![Правило сложения векторов по правилу треугольников Суммой векторов является вектор Его называют результирующим . Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор от конца вектора : Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора и :](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_19.jpg)
Правило сложения векторов по правилу треугольников
Суммой векторов является вектор
Его называют результирующим .
- Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор от конца вектора :
- Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора
и :
![Правило вычитания векторов Разностью векторов является результирующий вектор Он соединяет концы векторов и направлен к уменьшаемому . Рассмотрим разность векторов - = -](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_20.jpg)
Правило вычитания векторов
Разностью векторов является результирующий
вектор
Он соединяет концы векторов и направлен к уменьшаемому .
- Рассмотрим разность векторов -
= -
![Коллинеарность векторов](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_21.jpg)
Коллинеарность векторов
- Два вектора называются коллинеарными ,
- если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых
![Коллинеарность векторов](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_22.jpg)
Коллинеарность векторов
- Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными .
- Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены
![Произведение вектора на число Векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при . Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна ,](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_23.jpg)
Произведение вектора на число
Векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .
- Произведением ненулевого вектора на
число является такой
вектор , длина
которого равна ,
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_24.jpg)
![Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину . Любые два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называются противоположными . Вектор, протилоположный вектору а , обозначается — а](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_25.jpg)
- Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину .
- Любые два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называются противоположными . Вектор, протилоположный вектору а , обозначается — а
![](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_26.jpg)
![Задача 1. Постройте вектор m, если m=a+2b; m=2a-c; m=a+1/2b; m=3a-2b-c; m=a+2b; m=2a-c; m=a+1/2b; m=3a-2b-c; а c b](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_27.jpg)
Задача 1. Постройте вектор m, если
- m=a+2b; m=2a-c; m=a+1/2b; m=3a-2b-c;
- m=a+2b;
- m=2a-c;
- m=a+1/2b;
- m=3a-2b-c;
а
c
b
![КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА НА ПЛОСКОСТИ](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_28.jpg)
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА НА ПЛОСКОСТИ
- Рассмотрим координатную плоскость и в ней единичные векторы i и j , которые сонаправлены осям координат, и длина которых равна единичному отрезку: эти векторы называются базисными
![Любой вектор мы можем представить в виде линейной комбинации базисных векторов](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_29.jpg)
- Любой вектор мы можем представить в виде линейной комбинации базисных векторов
![РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСНЫМ](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_30.jpg)
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСНЫМ
- а=2i+3j
- b=2i-3j
- c=-4i+3j
![Векторы в пространстве](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_31.jpg)
Векторы в пространстве
- любой вектор в пространстве можно разложить по координатным векторам:
![Координаты вектора (на плоскости и в пространстве)](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_32.jpg)
Координаты вектора (на плоскости и в пространстве)
- Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала .
![Сумма и разность векторов](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_33.jpg)
Сумма и разность векторов
![Умножение вектора на число](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_34.jpg)
Умножение вектора на число
![Модуль (длина) вектора | а|=√а 1 2 +а 2 2 +а 3 2](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_35.jpg)
Модуль (длина) вектора
| а|=√а 1 2 +а 2 2 +а 3 2
![Задача 2](http://fsd.mir-olymp.ru/html/2021/11/28/i_61a3bdc1d7707/img_phpnFVI4f_9_36.jpg)
Задача 2
- 1) Запишите векторы а и b, заданные координатами точек начала А(3;-1;5) и конца В(7;4;-2), и С (0; -1; 5) и D(8; -2; 1)соответственно. 2)Найдите координаты векторов е и n, если е=-2a+b, n=3b-a 3)Найдите модуль вектора е. 4)Найдите длину вектора n .
- 1) Запишите векторы а и b, заданные координатами точек начала А(3;-1;5) и конца В(7;4;-2), и С (0; -1; 5) и D(8; -2; 1)соответственно. 2)Найдите координаты векторов е и n, если е=-2a+b, n=3b-a 3)Найдите модуль вектора е. 4)Найдите длину вектора n .
- 1) Запишите векторы а и b, заданные координатами точек начала А(3;-1;5) и конца В(7;4;-2), и С (0; -1; 5) и D(8; -2; 1)соответственно.
- 2)Найдите координаты векторов е и n, если е=-2a+b, n=3b-a
- 3)Найдите модуль вектора е.
- 4)Найдите длину вектора n .