Числовые последовательности

Числовые последовательности

Цели урока:

Образовательные: ввести понятие числовой последовательности;рассмотреть способы её задания и свойства

Развивающие: развить умение проводить сравнение, анализ, обобщение, развивать математическую речь

Воспитательные: формирование умения работать в группах, формировать навыки самоконтроля

Последовательности составляют такие элементы природы, которые можно пронумеровать

Дни

недели

Дома

на улице

Классы

в школе

Названия

Номер

месяцев

счёта

в банке

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ

2/14/19

2/14/19 10:58:04 AM

Понятие последовательности

Выпишем в порядке возрастания положительные четные числа.

Первое число - 2

Второе число - 4

Третье число - 6

Четвертое число - 8 и т.д.

Получим ряд чисел: 2; 4; 6; 8; …;2·n;…

он образует последовательность.

Числа, образующие последовательность, называются первым, вторым, …, n-м членом последовательности:

2/14/19 10:58:04 AM

Обозначение

Обозначают члены последовательности :

a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; … ; a n ; …

Читают:

(« а первое», «а второе», … , «а n- ое», … )

Последовательность a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; … ; a n ; … обычно обозначают (a n )

Примеры

последовательностей

2/14/19 10:58:04 AM

• Бесконечные последовательности:
• (a n ) 1, 3, 5, 7, 9, 11,… - последовательность нечетных чисел ( возрастающая)
• (a n ) - 5, -10, -15, -20, -25, … - последовательность отрицательных чисел, кратных 5 ( убывающая)
• Конечные последовательности:
• (a n ) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - последовательность однозначных натуральных чисел.
• (a n ) 10,20,30,40,50,60,70,80,90 – последовательность двузначных чисел, кратных 10.

2/14/19 10:58:04 AM

Способы задания последовательностей

• 1. Описанием

• 2. Формулой общего члена

• 3. Рекуррентный

• 4.Таблицей

2/14/19 10:58:04 AM

Задание последовательности описанием

Пример:

• Составить последовательность, в которой на четных местах 0, на нечетных местах – 1.

• Получим последовательность:
• (a n ) 1; 0; 1; 0; 1; 0; …

2/14/19 10:58:04 AM

Задание последовательности формулой

• 1) a n = 3*n +2 ,
• a 5 = 3*5+2 17
• a 10 = ? 32
• a 100 = ? 302
• 2) a n = 3+n ,
• a 5 = ? 8
• a 10 = ? 13
• a 100 = ? 103
• 3) a n = n 2 +1,
• a 5 = ? 26
• a 10 = ? 101
• a 100 = ? 10001
• 4) a n = 2 n-1 ,
• a 5 = ? 16
• a 7 = ? 64
• a 10 = ? 512

Замечание

Числовые последовательности

являются частным случаем

функций с натуральным

аргументом.

2/14/19 10:58:04 AM

Рекуррентный способ задания последовательности

• Название способа произошло от слова « recurro » - возвращаться .
• Рекуррентной называется формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого через предыдущие .
• Например:
• а 1 =4, a n+1 = a n +1

a 2 = a 1 +1= 4+1=5,

a 3 = a 2 +1= 5+1=6,…

2/14/19 10:58:04 AM

Табличный способ

a n

a 1

(a n )

4

a 2

a 3

8

12

a 4

a 5

16

a 6

20

a 7

24

a 8

28

a 9

32

a 10

36

40

Найдите закономерности и покажите их с помощью стрелки:

П

Р

О

В

Е

Р

Ь

С

Е

Б

Я

½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;

1; 4; 7; 10; 13; …

Увеличение

В порядке возрастания

положительные нечетные

на 3

числа

Чередовать увеличение

на 2 и увеличение в 2 раза

10; 19; 37; 73; 145; …

1; 3; 5; 7; 9; …

В порядке убывания

правильные дроби

с числителем, равным 1

6; 8; 16; 18; 36; …

5; 10; 15; 20; 25; …

Увеличение в 2 раза

В порядке возрастания

и уменьшение на 1

положительные числа,

кратные 5

Последовательности заданы формулами:

a n =n 4

a n =2 n -5

a n =n+4

a n =(-1) n n 2

a n =-n-2

a n =3 n -1

Выполните следующие задания:

• Впишите пропущенные члены последовательности:

1; ___; 81; ___; 625; … 5; ___; ___; ___; 9; … ___; ___; 3; 11; ___;

-1; 4; ___; ___; -25; … ___; -4 ; ___; ___; -7; …

2; 8; ___; ___; ___; …

ПРОВЕРЬ

СЕБЯ

16 256 6 7 8 -3 -1 27

-9 16 -3 -5 -6

26 80 242

2. Укажите, какими числами являются члены этих последовательностей

Положительные и Положительные Отрицательные отрицательные

Историческая справка

Блез Паскаль (1623 – 1662 )  один из самых знаменитых людей в истории человечества. Треугольник Паскаля – это бесконечная числовая таблица треугольной формы, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке:

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

Историческая справка

Между числами Фибоначчи и треугольником Паскаля существует интересная связь. Подсчитав для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, получим:

для 1 диагонали – 1; для 2 диагонали – 1;

для 3 диагонали – 1+1=2; для 4 диагонали – 1+2=3;

для 5 диагонали – 1+3+1=5; для 6 диагонали – 1+4+3=8;

для 7 диагонали – 1+5+6+1=13 ….

Мы получили не что иное, как числа Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n-ой диагонали есть n-ое число Фибоначчи.

Треугольник Паскаля

Бесконечная числовая таблица треугольной формы,

где по боковым сторонам стоят 1,

а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа.

Числа Фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначчи задается так:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Продолжи строчку!

х 1 =х 2 =1; х n+2 =x n+1 +x n ; n=1; 2; 3; …

Вычислим несколько

её первых членов:

1 6 15 20 15 6 1

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21;

34;55; 89; 144;

233; 377; …

Связь между числами Фибоначчи и треугольником Паскаля

Между числами Фибоначчи

и треугольником Паскаля существует связь. Подсчитаем для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, получим:

1

1

1

Для 1 диагонали – 1 ;

2

1

1

Для 2 диагонали – 1 ;

1

3

3

1

Для 3 диагонали – 1+1= 2 ;

1

4

1

4

6

Для 4 диагонали – 1+2= 3 ;

1

1

5

5

10

10

Для 5 диагонали – 1+3+1= 5 ;

Для 6 диагонали – 1+4+3= 8 ...

В результате мы получаем числа Фибоначчи: 1; 1; 2; 3; 5; 8; …

Всегда сумма чисел n-ой диагонали есть n-ое число Фибоначчи.

Задания для устного счета

Упражнение 12

9 класс

Последовательности

Числовая последовательность задана формулой. Заполните таблицу.

7

9

11

13

15

17

19

21

?

?

?

?

?

?

?

?

Числовая последовательность задана формулой. Заполните таблицу.

0

2

6

12

20

30

42

56

?

?

?

?

?

?

?

?

Числовая последовательность задана рекуррентной формулой. Заполните таблицу.

1

3

7

15

31

63

127

255

?

?

?

?

?

?

?

Приложение 2

Самостоятельная работа 4.1

Числовая последовательность.

Вариант 1

А1. Рассматривается последовательность натуральных чисел, делящихся на 3: 3, 6, 9, ... .

а) Выпишите первые 5 членов этой последовательности.

б) Запишите шестой член последовательности.

в) Определите, содержится ли в этой последовательности числа 19 и 27.

Самостоятельная работа 4.1

Числовая последовательность.

Вариант 2

А1. Последовательность (х n ) задана формулой n -го члена

х n =n 2 -5n

а) Выпишите первые 5 членов этой последовательности.

б) Запишите седьмой член последовательности.

в) Определите, содержится ли в этой последовательности число -4.

Приложение 3

Карточка № 2

Последовательность задана формулой

b n = n 2 +1 . Заполните таблицу:

b 1

b 2

b 3

b 4

b 9

b 10

b n-1

b n

b n+1

Приложение 2

Карточка № 1.

Дана последовательность ( a n ), которая задается формулой a n =1/n.

А) Найдите первые шесть членов этой последовательности и отметьте их на координатной прямой:

0 1 х

a 1 =____ ; a 2 =____; a 3 =____; a 4 =____; a 5 =____; a 6 =____.

Б) Заполните пропуски в предложениях:

1) a 50 =____; 2) a__ = 0,05; 3) a 10 – a 100 =_________________;

4) Наибольшим из всех членов последовательности (а n ) является: a__=_____;

5) Наименьший член последовательности ______________________________________ ;

6*)При бесконечном увеличении n, члены последовательности стремятся к ___;

7*) Для любого натурального n выполняется условие _____≤ a n ≤_____ .

Ответы